基于投影的多元非参数回归曲线比较及若干拓展问题

The comparison of regression curves is one of the principal problems in statistics. Although there have been many studies for the comparison of univariate nonparametric regression curves, the investigations of comparison of multivariate nonparametric regression curves are scarce. In the multivariate case, directly generalizing theories and methods in the univariate case can lead the problem of curse of dimensionality. To be precise, the constructed test statistics can not maintain the type I error well and have low powers. In this project, we aim to study the comparison of multivariate nonparametric regression curves. The main research work includes: 1. Establish the theories and methods for comparison of multivariate nonparametric regression curves. That is, use projections to avoid the effect of dimension, construct test statistics based on empirical process or nonparametric regression estimators, and study the asymptotic properties of test statistics; 2. Consider several related problems. Note that the conditional distribution function is a special kind of regression function. We extend the theories of comparison of nonparametric regression curves to the problem of comparison of conditional distribution functions. Single index model is an important semiparametric regression model. We study its curves comparison problem; 3. We extend the problem and related theories and methods to missing data. Construct test statistics by using imputation and inverse probability weighting methods. The asymptotic properties will also be studied; 4. The theoretical results will be applied to economics and management areas to see the contribution of this proposal.

回归曲线比较是统计学中的热点问题之一。虽然一元非参数回归曲线比较已有广泛研究，多元非参数回归曲线比较的研究却较少见。在多元情形下，直接推广一元情形的理论方法会出现维数祸根问题，导致统计量无法较好地控制第一类错误并且检验功效不佳。本项目致力于多元非参数回归曲线比较问题，主要研究内容为：1. 建立多元非参数回归曲线比较的理论和方法，即采用投影来规避维数的影响，基于经验过程或非参数回归估计构造检验统计量并研究统计量的渐近性质；2. 考虑若干拓展问题的研究。由于条件分布函数是一种特殊的回归函数，考虑将非参数回归曲线比较的理论推广到条件分布函数比较问题上。单指标模型是重要的半参数回归模型之一，对其进行曲线比较研究；3. 将完全数据下的检验问题及理论方法推广到缺失数据中，运用插补法和逆概率加权法处理缺失数据，进而研究统计量的构造及其渐近性质；4. 将上述理论结果应用到经济管理领域体现本项目的应用价值。

在众多统计推断问题当中，变量维数的增加往往导致相应统计量无法较好地控制第一类错误并且检验功效不佳。为回避变量维数对推断结果的影响，本项目提出了基于傅里叶变换的检验统计量。傅里叶变换实际上起到了一种随机投影的效果，将多维随机变量投影为一维变量，从而在一定程度上回避了维数问题。本项目首先研究了配对数据下的回归曲线比较问题。在适当权函数下，基于傅里叶变换的统计量形式简单易于计算。利用U统计量的理论方法，本项目论证了所提统计量的渐近收敛速度和变量维数无关。本项目进一步将基于傅里叶变换的统计量用以解决若干统计推断问题，如对多维随机变量进行对称性检验，对回归模型下随机误差给定协变量的条件分布进行对称性检验以及对回归模型下进行异方差性检验等，推导出了所提统计量的渐近分布。以上研究有力地解决了相关检验中所存在的维数问题，而且所提思路方法具有一定一般性，能够对其他相关的检验问题提供可行的途径。.本项目针对多元两样本比较问题，提出了更加稳健有效的检验统计量；对于部分配对数据的比较问题，提出了最优加权统计量；本项目还研究了如何对非参数广义似然比统计量进行改进以纠正统计量的渐近偏差和回避维数问题；研究了在响应变量存在不可忽略缺失时，如何进行有效的模型设定检验；还研究了缺失响应变量的均值估计问题，提出了半参数双稳健估计量。在研究了上述统计理论方法后，我们进一步讨论了这些统计理论方法在经济金融中可能的应用。.在项目资助下共完成了12篇论文，其中9篇论文已经发表，2篇论文已经在线发表，另有1篇论文已被正式录用。