谱范数下矩阵的广义最小秩逼近问题及应用

This project studies the problem of minimum rank generalized approximation of matrix in spectral norm.That is to say,we will characterize the expressions of the minimum value of spectral norm in constraint condition,the minimum rank of X and derive a general form of minimum rank solution X. It mainly includes the following contents. First, constraint condition is Hermitian and objective optimization matrix is semi-positive definite.Second, objective optimization matrix X is normal.Third,X is a matrix with submatrix constraint . Forth, the problem of minimum rank generalized approximation of matrix in spectral norm under multivariable constraint conditions.Fifth, a matrix function of objective optimization matrix is a subblock of a matrix M, and the spectral norm of M is minimum or less than a given value. For the first question ,we will give the rapid and stable algorithms and apply them to solve practical problem in the control theory.

本项目拟对谱范数下矩阵的多种类型的广义最小秩逼近问题进行研究,即确定谱范数下广义矩阵逼近问题的最小秩解。主要研究以下五种条件下最小秩广义逼近问题解的存在条件，在可行集非空的条件下，计算约束条件A-BXC的谱范数的最小值，优化目标矩阵X的最小秩及达到秩最小时X的表达式，具体为：①当约束条件‖A-BXC‖为对称形式时，即A为Hermitian矩阵，C为B的共轭转置，要求矩阵X满足半正定条件；②目标优化矩阵X满足正规条件；③矩阵X满足子矩阵约束条件；④将约束条件中的单变量函数推广为多变量函数；⑤将约束条件中的包含优化目标矩阵X的矩阵函数作为某一矩阵M的一个子块，要求M的谱范数达到极小。另外，针对①中的问题，设计高效稳定的算法，寻求其在控制中的应用。该项目的研究可为从复杂数据中寻找最有用的信息提供可靠的应用基础。

该资助项目获得了如下成果：我们提出了谱范数下对称矩阵逼近的最小秩半正定解问题，利用保范扩张定理及限制的奇异值分解，得到了最小秩及最小秩半正定解的表达式。我们提出了四元数Householder变换的新形式及高效稳定的快速实保结构算法，并将其应用于四元数QR分解、四元数奇异值分解及彩色图像处理中；我们提出了四元数Gauss变换及四元数LU分解的实保结构算法，以上成果都是原创性的。我们充分利用四元数矩阵的实表示的结构讨论了几类四元数矩阵方程的一般解、特殊最小二乘解的表示问题，给出了相应的算法。我们利用矩阵的半张量积讨论了网络控制及博弈中的如下问题：有脉冲影响的k-值逻辑网络的稳定性；k-值控制网络的可控性与可观性； 网络演化博弈策略一致性的充要条件；沉默策略对囚徒困境博弈合作水平的影响；添加惩罚策略的囚徒困境博弈的控制；回报机制对变异雪堆博弈合作水平的影响等。发表SCI检索论文7篇，EI检索论文1篇，中文核心期刊论文7篇，毕业硕士7名，在读4名。