数据缺损下的矩阵低秩逼近方法及其应用

矩阵低秩逼近是一个应用非常广的数据分析工具，在部分矩阵元素缺损下的矩阵低秩逼近与数据完全下的矩阵矩阵低秩逼近具有非常大的差异性，在最优模型的设计、最优解的确定性和稳定性、数值算法的构建和分析上面临许多困难。这一课题具有重要的研究意义和广泛的应用价值，非常值得进一步的深入研究。本项目研究数据缺损下的矩阵低秩分解问题，包括最优模型问题的多解性和稳定性理论分析、正则化和约束模型修正、约束修正最优问题的数值算法的改进及收敛分析、非负低秩逼近及Dantzig-Wolfe算法修正、低秩分解因子的参数化流形约束、协同过滤问题的新模型及数值方法，以及多端协同过滤问题的建模与算法研究。我们的目标是完善数据缺损下矩阵低秩逼近问题的研究，包括稳定性理论分析、最优模型的建立和快速有效的数值算法。同时也寻求研究成果在图像处理、信息数据分析、网络商务服务以及多端交互关系分析中的实际应用。

本项目研究数据缺损下的矩阵低秩分解及其相关问题。我们在最优模型问题的多解性稳定性理论、正则化策略和方法及其数值算法与分析、低秩分解的非线性流形约束、非线性流形的自适应方法、多源数据的降维模型设计与计算，以及稀疏恢复新方法及其理论等方面，作了一系列比较深入的研究成果，取得了一些主要进展和重要成果。正式发表了7篇高质量的研究论文并完成3篇在审论文。其中5篇论文在IEEE最好的刊物TPAMI和顶尖的Top刊物 PR和J MLR上发表或接受评审。分别在全国计算数学2011年会和数学会2013学术年会作邀请报告。主要成果有：. 我们丰富完善了基本模型问题的不适定性理论分析, 提出了有创新性的元素约束正则化和引导正则化思想及快速数值算法，分别解决中等和高程度元素缺损的矩阵低秩逼近问题。提出了一个新颖的数据降维模型，在恢复大尺度下线性结构的同时，保持数据的局部非线性结构。这一模型有很好的逼近性，全局最优解和其解析表示式，并可通过直接方式或迭代方式求得最优解。提出了有效邻域的选取准则与及其自适应算法，以及局部流形曲率的修正降维模型，从两方面改善了原有流形降维方法，增强了在具有不同特性、不同来源背景的实际数据中的有效性。我们提出了非线性降维方法和全局精化方法，解决解决低分辨率图像的高清晰重构，改善重构高分辨率图像的质量。我们用一种创新的方法研究非线性光滑向量函数的本质特性，提出了奇异曲线流研究方法，并发现了类似于决定生物特性的DNA特征：串联这些奇异点的两条临界曲线，在奇异点附近的两种基本配对构成的互补性，决定了奇异流的三种奇异现象: 推离、绕行，以及单向吸引。对多源数据，我们提出了多源数据的一致性MDS模型以及子空间迭代和子空间扩张算法，以解决新模型涉及的一个非凸非线性特征值这个比较困难的计算问题。我们在稀疏恢复方面，提出了一个具有创新性的移动凸包方法。这一方法完全摆脱了传统的L_1优化模式，在理论上和数值计算上都展现了比L_1优化方法更优越的特点。我们详细讨论了这个移动凸包方法MoCH的实际实施性问题，提出了两种数值算法并证明了其收敛性，以及局部凸包的移动策略与算法。在多个实际应用中，MoCH效果最理想。