数域上代数簇的周群，K-群及其不变量研究

This research program study some fundamental arithmetic problems of algebraic varieties over a number fields, such as Chow groups (including rational points and integral points problems), K-groups and the related invariants (such characteristic classes)...By using etale cohomology theory, we will establish strong approximation with obstruction from cohomology for smooth and geometrically rational connected varieties, K3 surfaces and Shimura varieties and apply it to study the integral points and rational points (such as Manin's conjecture) and arithmetic properties of Chow groups (such as Colliot-Thelene and Kato-Saito conjecture)...We will find equivariant arithmetic higher K-groups under the action of roots of unity and provide the localization sequence for arithmetic higher K-groups. We also establish the relation between arithmetic higher K-groups and Gillet-Soule arithmetic Chow groups, construct higher Chern character with values in higher arithmetic Chow groups and prove the related Riemann-Roch theorem for higher arithmetic K-groups.

本项目研究数域上代数簇的基本算术问题，如周群（其中包括有理点与整点问题），K-群以及与此相关的不变量（如示性类）。..利用etale上同调工具，建立数域上光滑几何有理代数簇，K3曲面以及Shimura簇等以上同调为障碍的强逼近理论，并应用于研究整点和有理点问题（如Manin猜想）以及周群的算术性质（如Colliot-Thelene和Kato-Saito猜想）。..寻找在单位根作用下等变的高次算术K-群，建立等变高次算术K-群的局部化正合列（localization sequance)。建立Arakelov几何中高次算术K-群与Gillet-Soule算术周群之间的关系，构造取值在高次算术周群中的高次算术陈特征并证明相应的高次算术K-群的Riemann-Roch定理。

算术代数几何是现代数学最为活跃数学领域之一。本项目开展了代数簇强逼近理论以及在代数簇的整点和有理点等问题中的应用。对于算术代数簇，开展了Arakelov几何框架下算术K-群的研究。证明了单连通半单拟分裂线性代数群关于强逼进的算术纯度定理。系统的研究了Markoff曲面，作为log K3曲面的例子，证明了Brauer-Manin的强逼进均不成立。对单位根群作用下的算术簇定义了高次等变算术K-群和相对等变K-群，证明了该框架下的纯度定理（purity theorem）、Quillen局部化定理、算术中心定理，构建并证明了高次等变算术K-群的Lefschetz-Riemann-Roch定理。利用新的p进霍奇理论工具完全解决了Fargues-Rapoport提出的关于p进周期区域结构的基本猜想。系统地研究了阿贝尔类型志村簇模p光滑约化的几何，包括牛顿分层，Ekedahl-Oort分层，中心叶等，建立了维数公式、闭包关系等基本性质。发现同余数和K_2群之间的深刻联系以及Shafarevich–Tate 群的新现象。利用二次型在二者之间搭建了一个桥梁，将这两个领域之间建立起了联系。. 在本项目支持下，目前已发表论文23篇、接受发表论文5篇、尚有4篇论文在投稿中。