代数簇上整点和有理点的上同调方法

It is one of the core problems in arithmetic algebraic geometry to study integral points and rational points in algebraic varieties and cohomology theory is also one of important methods in modern mathematics. This research program tries to establish strong approximation of algebraic varieties over algebraic number fields with various cohomology obstructions given by various Grothendieck topology. Then one can determine the existence of integral points and rational points by using these obstructions. We further plan to study the asymptotic formula for integral points or rational points for such varieties and decide precisely how these obstruction twist the local solutions to contribute the asymptotic formula. Investigate the relation between the special values of L-functions involved in the asymptotic formula and the arithmetic invariant of algebraic varieties.

研究代数簇的整点和有理点是算术代数几何核心问题之一，而上同调是现代数学研究的重要手段。本研究计划试图利用各种Grothendick拓扑定义的上同调方法,建立数域上代数簇在这些上同调障碍下的强逼近定理。由此判定这些代数簇的有理解和整数解的存在性。进一步研究这些代数簇有理解和整数解个数的渐进公式，确定上同调障碍如何通过扰动局部解个数贡献给解个数的渐进公式。研究渐进公式中体现L-函数的特殊值与代数簇的算术不变量的联系。

研究数域上代数簇的整点和有理点是算术代数几何基本问题之一。上同调方法是现代数学研究的重要工具之一。本研究计划试图利用平静拓扑上同调定义的代数簇的Bauer群，建立数域上代数簇在Brauer-Manin障碍下的强逼近定理。由此判定这些代数簇的有理解和整数解的存在性。进一步研究这些代数簇有理解和整数解个数的渐进公式，确定上同调障碍如何通过扰动局部解个数贡献给解个数的渐进公式。研究渐进公式中体现L-函数的特殊值与代数簇的算术不变量的联系。主要成果如下：.1. 利用纤维化方法证明了数域上一族二次型空间，如果整个空间非紧，就满足Brauer-Manin障碍下的强逼近定理。而这一类代数簇，其每一根纤维都可以是正定二次型定义的齐性空间，因而不满足强逼近性质。因此论文中的方法，突破了传统纤维化方法。.2. 证明了有理数域，虚二次域或整体函数域上代数环面的子代数簇的有理点和Brauer-Manin集合相同。由此可以推出：这些域上的光滑代数簇都包含一个Zariski稠密开子集满足这种性质。作为应用：证明了函数域上Harari-Voloch猜想，并证明该猜想在数域上关于零维代数簇也是成立的。.3. 证明了连通线性代数群的齐性空间上的整点个数，可由相应局部整解通过Brauer群里的元素扭动后的个数乘积，平均地渐进给出。对于代数环面，特别是Pell方程给出了解个数非常明确的渐进公式。作为应用：说明了Eskin-Mozes-Shah关于特征多项式为给定整数环上不可约多项式的整系数矩阵的个数是由局部整解的个数渐进给出。.4. 证明了连通代数群的等变部分光滑紧化满足Brauer-Manin障碍下的强逼近性质。特别地，当代数群是代数环面时，这种代数簇即为toric varieties。所以光滑的toric varieties都满足Brauer-Manin意义下的强逼近定理。