非自伴算子代数上的局部映射

Non-self-adjoint operator algebras are the important content in the operator algebra theory, and have the important theoretical value and the applied value. Recently, the study of local mappings of non-self-adjoint operator algebras is mainly focused on the linear local mapping. In this project, we introduce the concept of local preserving maps and multilinear local maps, and investigate the local preserving maps and multilinear local maps of nest subalgebras of von Neumann algebras and CSL subalgebras of von Neumann algebras. Also, we study the local Lie maps on some operator algebras. We wish the present project can bring active effect for non-self-adjoint operator algebras.

非自伴算子代数是算子代数理论中重要的一个分支，具有重要的理论价值和广泛的应用价值。近年来，非自伴算子代数上局部映射的研究主要集中在各种单线性局部映射上，本项目将引入局部保持映射和多线性局部映射的概念，研究von Neumann代数中nest子代数与CSL子代数上的各种局部保持映射与多线性局部映射。同时还将研究某些算子代数上的局部 Lie映射。通过本项目的研究，以期能对非自伴算子代数的研究产生积极的影响。

算子代数上局部映射的研究起始于著名算子代数学家R.Kadison, D.Larson和A.Sourour 的开创性工作，在算子空间的自反性问题和代数的上同调理论中有重要的作用，有助于了解算子代数的结构。本项目主要研究算子代数上的各种局部映射，包括局部Lie导子、局部Lie同构、2-局部Lie导子和双局部Lie导子等。具体来说，完成了以下工作：我们刻画了广义矩阵代数上的局部Lie导子的结构，证明了在一定条件下，三角代数上的局部导子是导子以及2-局部Lie导子是Lie导子。同时，还研究了三角代数上的双局部Lie导子和矩阵代数上的局部Lie自同构。