非自伴算子代数的Lie结构与局部映射研究

Many problems og mathematics and physics are closely related with the Lie structures of algebras. The applicant and collaborators have investigated linear Lie structure of some operator algebras and studied preliminarily the nonlinear Lie structure of triangular algebras. In this project, firstly we will investigate nonlinear Lie derivation, Lie n-derivation, linear or nonlinear mappings of preserving Lie products on some non selfadjoint operator algebras such as triangular algebras, nest subalgebras of von Neumann, CSL algebras and subdiagonal algebras. The new methods of overlapping and separating operator block and using block replacing piont will be used. In addition, we will use the method similar to prime ring to study the above operator algebras. Secondly, we will discuss multilinear local mappings and local preserving problems of triangular algebras, nest subalgebras of von Neumann, CSL algebras and subdiagonal algebras. Operator spectrum theory and functional identities will be applicated. We will study the structure and algebraic invariant of non selfadjoint operator algebras through the study. Lastly, we will discuss Lie structure, derivation、local derivation and local isomorphism of two certain Kadison-Singer algebras. We hope that the research of this project will not only enrich theory of operator algebras but also have a positive impact to study operator algebras.

数学与物理中的许多问题都与代数的Lie 结构有密切关系。申请人与合作者已对算子代数的线性Lie 结构进行了研究，并初步探讨了三角代数上的非线性Lie结构。本课题拟进一步以三角代数、tvon Neumann 代数的套子代数、CSL 代数、次对角代数为模型，应用"重叠分块，以块代点"和类似于刻画环的素度的方法，研究这几类非自伴算子代数的非线性Lie导子、Lie n-导子、线性或非线保持Lie乘积的映射，从而刻画非自伴算子代数的Lie结构。结合算子谱理论与函数方程，研究非自伴算子代数的各种多线性局部映射和局部保持问题，通过它们的研究探讨非自伴算子代数的结构与代数不变量，并应用于研究它们的上同调理论与相似问题。最后研究两类特殊的Kadison-singer代数的Lie 结构、导子、局部导子、局部同构。通过本项目的研究，以期对算子代数的研究产生积极影响。

算子代数理论产生于20世纪30年代, 由于算子代数上的映射与算子代数的某些固有性质有着密切的联系, 因此, 近年来国内外许多学者对算子代数上的映射进行了系统而深入的研究, 并不断提出新思路, 取得了丰富的成果. 事实上, 这方面的研究不仅丰富了算子代数理论的研究, 而且刺激了算子理论甚至纯代数理论的发展. 本报告以三角代数、von Neumann代数、套子代数、CSL 代数这几类非自伴算子代数为模型, 采用了算子代数的“重叠分块, 以块代点”的新思想、类似于刻画环的素度这一新方法, 同时把算子谱理论运用到局部映射的研究中, 充分运用算子理论与算子代数的工具及所考虑的算子代数的特殊结构, 并密切结合函数方程理论, 具体研究并得到以下结果:.（1）研究了套代数上的Lie 三重同构, 得到: 设 N 和 M 是复可分 Hilbert 空间 上的套且dimH > 2. 若 L : τ(N ) → τ(M) 是一个线性的Lie三重同构, 则对任意的 x ∈ τ(N ), L 具有形式 L(x) = θ(x) + h(x) ,其中θ : τ(N ) → τ(M) 是一个同构或反同构,h: τ(N ) → CI 是一个线性映射, 使得对任意的 x,y,z ∈τ(N ) 有 h([[x,y],z]) = 0. .（2）研究了三角代数上的非线性保Lie 积的映射, 得到：设 U = Tri(A,M,B) 是三角代数, V = Tri(C,N,D) 是正规三角代数. 如果对任意 x, y ∈ U , 映射 φ: U → V 是双射且满足φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], 则φ是一个模中心的可加映射..（3）研究了von Neumann 代数上的非线性保* -Lie 积的映射, 得到: 设H 是复的 Hilb ert 空间且 dimH ≥ 2. 设 M和 N 是 H上的两个因子 von Neumann 代数. 如果对任意的A,B ∈ M, φ : M → N是一个双射且满足 φ(AB-BA∗) = φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)∗，则 φ 是一个线性或共轭线性的* -同构. .（4）研究了CSL 代数上的 局部Lie 导子，得到: 每一个可交换子空间格代数上的局部Lie导子是Lie导子.