实代数奇点的拓扑结构

In this project, on one hand, we first consider some sufficient conditions for the existence of Milnor fibration when the polynomial mapping germs have non-isolated singularities. Under these conditions , we will study the topology of the fiber (for example, the connectivity of the fiber, Euler characteristic or other topological invariants). In particular, when we compose these polynomial germs satisfying the sufficient conditions, we expect to use Morse theory or other methods to study the properties of the singularities given by the composed mapping germs. On the other hand， we will investigate deformations of polynomial mapping germs and find some sufficient conditions to insure the topological triviality. On this basis, we want to give some reasonable generalization of Le-Ramanujan theorem.

在这个项目中，一方面，我们先考察具有非孤立奇点的实多项式映射芽存在局部Milnor纤维丛结构的某些充分条件。 在这些条件下，我们将研究其纤维的相应拓扑性质（例如纤维的连通性，欧拉示性数等拓扑不变量）。特别的，当满足这些条件的几个多项式映射芽进行复合时，我们期望通过Morse理论等方法 对复合后的映射芽所对应奇点的性质进行研究。 另一方面，我们将研究实多项式映射芽的参数形变并找到能保证其拓扑平凡性的某些充分条件。在此基础上，我们想在实数情况下对Le-Ramanujan定理做适当推广。

代数奇点理论一直是代数几何中非常重要的方向，其中关于米尔诺纤维丛的研究又是代数奇点理论的核心问题。以往的研究多是关于复代数奇点的研究.，由于实数情形比复数情形要复杂许多，所以关于实代数奇点的研究还处于萌芽阶段。我们的项目计划研究的主要内容是以下三个方面：..一. 对于具有孤立奇异值的多项式映射进行复合之后，如何确定复合之后的映射米尔诺纤维丛的拓扑。..二. 推广Thom-Sebastiani定理到实数情形。..三. 非孤立奇点的形变理论。..我们最终将原计划中的第一个和第二个问题都进行了极大的推广，得到了如下的一些结果：..一. 我们给出了Tame多项式映射复合之后，分层纤维丛的拓扑型的结构定理。..二. 对Tame多项式映射给出了一般的Thom-Sebastiani定理。..三. 构造了许多有别于复的情形的例子验证一和二的结论。..关于这项研究的意义主要体现在以下三点：..一. 在我们的研究中对映射的奇异值集没有做任何维数上的要求，这是对以往的情形进行了极大的推广。..二. 推广后的Thom-Sebastiani定理蕴含了以往所有关于这方面研究的结果，适用于实的和复的情形。..三. 我们利用混合多项式的牛顿多边形理论去构造例子的过程非常容易。这将为后续这方面的研究给出有用的参考。