马氏过程理论若干问题及其在金融计算中的应用

一般马氏过程理论是连续时间马氏过程的主要研究方向, 它与数学的许多分支有密切联系, 如泛函分析, 调和分析微分几何等, 它包含了丰富的内容以及许多常见的随机过程, 如布朗运动泊松过程稳定过程等, 它们给其它科学研究领域提供了丰富多彩的模型, 因此一般马氏过程的研究一直是概率论的主流方向, 本项目将主要研究马氏过程的一些基础性质, 如既约性质, 常返性质, 不变测度或者平稳测度的存在唯一性问题, 极集与半极集的联系, 一维扩散过程的强Feller性, 还有这些性质在一些特殊过程如对称马氏过程或者Levy过程情况下的具体表现形式, 我们还将试图应用马氏过程理论来对金融以及统计计算模型中的问题进行研究, 以得到更好更实用的结果.

项目分成两个部分, 首先是马氏过程方面, 现有的关于Hunt 假设: semipolar 是polar 的结果是利用泛函的办法证明的, 我们想利用散射公式建立起一个纯概率性的证明, 但是并没有完全成功, 一般的散射公式是建立起来了, 但是还不能用它来得到一个纯概率证明, 这件事情还需要持续的努力. 第二我们给出随机分析和金融数学领域的鞅表示定理的一个证明, 这个证明避免使用Ito原来的证明中要求两次变差是一个确定性过程的条件, 所以有更广的适用性.