狄氏形式的正则子空间与一维扩散

For twenty years, the applicant with his co-authors and students have been studied the regular Dirichlet subspaces/extensions of Dirichlet forms: existence and characterization. We have been publish a series of papers on the case of 1-dimensional symmetric diffusions and one of them appeared in 2017 on Annals of Probability. This problem exhibits a beautiful prospect and there are many related problems in this field. We plan to study this problem further. We shall focus on regular Dirichlet subspaces related particularly to 1-dimensional diffusions, high-dimensional BM and 1-dimemsional symmetric stable processes, which are two kinds of important stichastic Markov processes.

近二十年来, 申请人和合作者还有学生一直关注并研究Dirichlet形式的正则子空间与正则扩张问题: 存在性与刻画. 在一维扩散方面已经得到一系列系统的结果, 发表论文十多篇, 其中有一篇发表在2017年的概率年刊(Annals of Probability)上. 这个问题展现出蓬勃的生命力, 还有许多可以研究的基础性问题, 我们计划对这个问题进行进一步研究, 重点是一维扩散的正则子空间问题的进一步研究, 多维 Brown 运动以及一维对称稳定过程的正则子空间和正则扩张问题.

本项目的目的是研究正则Dirichlet形式的正则子空间与正则扩张问题, 其中包括存在性问题与刻画问题, 四年来, 我们在该问题的研究以及相关问题的研究取得了相当多的进展, 在2019年的论文, 在一维扩散的正则子空间构造方面, 给出了更直观的构造方法, 我们发现除了用紧支持光滑函数以及定义在上面的算子作为生成算子以外, 我们还可以用非常一般的方法来构造一维扩散过程, 这样可以极大地丰富该领域; 在2022年的论文中, 我们首次将 Dirichlet 形式的扩张分解为熟知的 Silverstein 扩张与正则扩张(也称为 Fukushima扩张), 而且证明了这样的分解是唯一的, 这说明了正则子空间和扩张问题是 Dirichlet 形式理论中的自然问题, 值得进一步研究; 最后在2022年完成(但尚未发表)的论文中, 我们研究了对称稳定过程的正则子空间问题, 对于 $\alpha\in[0,2]$, 其中 $\alpha=0$ 被认为是对称复合 Poisson 过程, $\akpha=2$ 被认为是 Brown 运动, $\alpha<1$ 是对称稳定过程不存在非平凡正则子空间的充分必要条件, 这是这个问题的研究中, 从一维 Brown 运动的进展以来所迈出的最重要的一步.