马氏过程边界理论的若干问题

In this project, we will study several problems on boundary theory of Markov processes. Markov procees with darning was introduced by Chen and Fukushima recently. It has significant imprtance in the study of boundary theory of Markov processes and Komatu-Loewner equations on multi-connected domains. We will firstly study the stability of Brownian motion with darning on the shorting domains. Next, we will study the invariance principle of Brownian motion with darning, which is application of functional central limit theorem on Markov boundary theory. We will explore the connections between diffusions with darning and partial differential equations with boundary conditions. We will further study the potential theory of discontinuous stable processes with darning and their heat kernel estimates. Lastly, we will study the ergodicity of a class of restarted Markov processes with darning. This project has both theoretical and practical application perspective. Starting from problems with physical and ecological backgroud like fluid mechanics with boundary effect etc., we will try to describe these practical phenomenon through characteristics of Markov processes with darning.

本项目拟研究马氏过程边界理论的若干问题。“补丁”马氏过程是最近由Chen和Fukushima引入的一类马氏过程, 在马氏过程边界理论的研究和多连通区域上Komatu-Loewner方程的研究中起着重要的作用。我们将首先研究“补丁”布朗运动关于“缝补”区域的稳定性；接着研究关于“补丁”布朗运动的不变原理，给出泛函中心极限定理在马氏过程边界理论上的应用； 探索“补丁”扩散过程与带边界条件的偏微分方程之间的联系；还将研究不连续轨道的“补丁”稳定过程的位势理论及其精细热核估计；最后将研究一类重置“补丁”马氏过程的遍历性。这是一项具有重要理论意义和研究前景的课题，同时具有实际应用前景，我们将从有物理、生物背景的问题出发，如带边界效应的流体力学等力求通过“补丁”马氏过程的特征描述这些实际现象。

本项目研究了马氏过程边界理论的以下问题：.1 研究了一般的不连续的跳扩散过程与带边界条件的偏微分方程的联系，也就是当扩散系数和漂移系数不一定是可积函数类，而是一般的Kato 类，并且跳测度是无穷大时，我们给出了一类新的偏微分方程解的概率表示。具体的：从对称“补丁”跳扩散过程出发，分别通过狄氏型和Girsanov 变换来构造非对称的跳扩散过程，然后给出一类广义的偏微分方程所对应的概率解。由于系数不是光滑的，而是Kato 类，所以要用磨光技术把系数磨光，然后用光滑的函数逼近Kato 类的函数。这里的难点是要证明新构造的好的过程序列的极限是对应的偏微分方程的弱解，需要用到Soblev 嵌入和偏微分方程中的Meyers 不等式；.2. 研究了凸区域上在边界上反射的一类非Lipschitz 系数的随机微分方程解的存在唯一性， 主要是通过惩罚欧拉方法（Penalization Euler scheme) 将反射的随机微分方程用一系列的非反射的随机微分方程逼近，然后通过一些先验估计，单调性条件，结合区域的凸性和一些不等式，得到逼近序列的收敛性，最后证明收敛的极限就是原来的方程的解；.3. 研究了一般规则区域（可以非凸）上的在边界上反射的一类带跳的随机偏微分方程解的存在唯一性，由于这里的方程是由白噪声驱动的，并且有不连续的跳，所以我们首先给出这类方程弱解的定义，然后用惩罚方法构造一系列没有反射项的随机偏微分方程来逼近原来的方程，通过一系列的估计来证明逼近序列的收敛性；.4. 研究“补丁”布朗运动关于“缝补”区域的稳定性和关于“补丁”布朗运动的不变原理，给出泛函中心极限定理在马氏过程边界理论上的应用，这也是离散“补丁”随机游动的稳定性；研究了不连续轨道的“补丁”稳定过程的位势理论及其精细热核估计。