时滞反应扩散方程的动力学理论中的几个问题

In the project, we shall investigate several problems in the dynamics of reaction-diffusion equations with delay, which are as followings: (1) How does the delay affect the stability and Tuing instability of reaction-diffusion equations? (2) The sufficient conditions to ensure the occurrence of Hopf bifurcation at sdeady state and the properties of the bifurcating periodic solutions; (3) The continuation of Hopf bifurcation branch, that is the existence of bifurcating periodic solutions for the parameter far away from the bifurcation values; (4) The existence of traveling waves and the evaluation of minmum traveling speed for nonlocal delay reaction-diffusion equations; (5) Applications, for some delay reaction-diffusion equations such as population models, epidemic models and tumor cell models, we shall study the dynamics of the models. Furthermore, based on the mathematical analysis, we shall give some explaination for some phenomenon appeared and predict the development in the future. The dimension of dynamical systems generated by delay reaction-diffusion equations is infinite. So the study on this is difficuty. In the process of investigation, not only the theories and methods of classical partial functional differential equations and dynamics, but also topology, algebra, functional analysis and computer sciences are used. So the study of the project shall not only enrich and improve the dynamical theory, but also promote the other relative fields.

本项目主要研究具时滞的反应扩散方程的动力学理论中的几个问题，内容包括：（1）时滞是如何影响反应扩散方程的稳定性及Turing不稳定性；（2）从非常值稳态解处产生Hopf分支的充分条件和分支周期解的性质；（3）Hopf分支的延拓，即分支周期解的大范围存在性；（4）非局部时滞反应扩散方程行波解的存在性及最小波速的估计；（5）应用，即对某些有实际背景的具时滞的反应扩散方程，诸如刻划种群增长规律的生态种群模型、传染病模型、肿瘤细胞增长等模型进行动力学性质分析，进而对相应实际过程的一些现象给出数学解释，并预测其未来发展趋势。时滞反应扩散方程生成的动力系统是无穷维的，其动力学性质的研究难度很大。研究中不仅要用到经典的偏泛函微分方程和动力系统的理论和方法，还要用到拓扑、代数、泛函分析及计算数学等相关知识，所以本项目的研究不仅可以丰富动力系统自身的理论，也可能推动相关学科的发展。

本项目主要研究了具时滞的反应扩散方程的动力学理论中的若干个问题，主要内容包括：（1）时滞是如何影响反应扩散方程的稳定性及Turing不稳定性；（2）从常值稳态解和非常值稳态解处产生Hopf分支的充分条件和Hopf分支的性质，即分支方向和分支周期解的稳定性；（3）Hopf分支的延拓，即分支周期解的大范围的存在性；（4）时滞反应扩散方程行波解的存在性及最小波速的估计；（5）应用，即对某些有实际背景的具时滞的反应扩散方程模型进行动力学性质分析，模型刻划种群增长规律的生态种群模型、传染病模型、化学反应等模型，进而对相应实际过程的一些现象给出数学解释，并预测其未来发展趋势。时滞反应扩散方程生成的动力系统是无穷维的，其动力学性质的研究有较大的难度。研究中不仅要用到经典的偏泛函微分方程和动力系统的理论和方法，还用到了生物数学、拓扑、泛函分析及计算数学等相关知识。本项目的研究结果不仅丰富动力系统自身的理论，还对某些实际问题中的一些现象给出数学解释，帮助人们从数学角度来理解认识一些现象。