Hamilton系统和几类重要椭圆方程的研究

We try to apply critical point theory, together with topological methods and various technologies in analysis, to study the following important nonlinear variational problems: 1. Existence of one nontrivial homoclinic orbit, and also infinitely many homoclinic orbits for the first (or second) order Hamiltonian systems; 2. Existence and multiplicity of positive solutions of singular elliptic equations involving Hardy terms and critical Hardy-Sobolev exponents; 3. Existence of multiple solutions and sign-changing solutions of the nonlocal Kirchhoff-type problems, and properties of solutions; 4. Stationary solutions of Euler equations. These topics have deep background of physics, geometry and biology, and therefore are important both in theory and in applications. Via the study of this project, we hope to make some contributions to the development of nonlinear analysis, and provide theoretic references and technical supports for other scientific researches.

我们拟利用临界点理论结合拓扑度方法和各种分析工具研究以下几类重要的非线性变分问题：1. 一阶、二阶Hamilton系统同宿轨的存在性、多重性以及无穷多条同宿轨的存在性；2.具有Hardy项和Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程正解的存在性和多重性；3.Kirchhoff-type非局部问题多解、变号解的存在性以及解的几何、分析和拓扑性态；4、Euler方程的稳态解。本项目的选题具有深刻的物理、几何和生物学背景，有重要的理论意义和研究价值。我们期望通过对上述具体问题的研究，推动非线性分析理论和应用的发展，同时为其它相关科学领域提供理论参考和技术支持。

本项目用变分方法、拓扑度理论和隐函数定理等多种非线性分析方法研究了Hamilton系统的周期解、次调和解和同宿轨，p-Laplace系统、分数阶Hamilton系统、双调和方程、Kirchhoff型方程、Brezis-Nirenberg问题、椭圆系统、拟线性椭圆方程、Schrodinger方程、Schrodinger-Poisson系统、Choquard方程、Klein-Gordon-Maxwell系统，带有凹凸非线性项的拟线性椭圆系统以及具有Hardy项和Hardy-Sobolev项的奇异椭圆方程解的存在性和多重性；发表论文85篇，其中64篇被SCI 收录；2016年，成果《Hamilton系统的同宿轨与椭圆系统的边值问题》获重庆市自然科学三等奖; 参加国际、国内学术会议70余人次；培养在读博士生3人、硕士生27人，毕业博士生11人、硕士生26人。