g-期望和G-期望下的詹森不等式及相应函数的凸性研究

Nonlinear expectation has many important applications in finance and economics and so on. Many people try to construct different nonlinear expectations to satisfy different demands. As nonlinear expectations with good properties, g-expectation and G-expectation have wide applications in many fields. Of all the properties of expectations, Jensen’s inequality occupies an important position. In this project, we devote our attention to Jensen’s inequality under g-expectation and G-expectation, analyze the forms and properties of the corresponding convex (concave) functions. The detailed research contents are as follows：1. The different forms and properties of quadratic g-convex (concave) functions for g of different forms; 2. Jensen’s inequality under quadratic g-expectation with unbounded terminal condition; 3. Jensen’s inequality under backward stochastic differential equations with jumps and the properties of this kind of convex (concave) functions; 4. The properties of convex (concave) functions under G-expectation and G-BSDE. This project combines backward stochastic differential equation, G-expectation and the classical convex analysis. During this process, we need to deal with some optimization problems and control problems, and try to do deep analysis on the solutions. Through the thorough analysis on the convex and concave functions under g-expectation and G-expectation, we hope the applications of the nonlinear expectations can be better expanded in different fields.

非线性期望在诸多领域中具有重要应用，人们试图构造各种不同的非线性期望，以适应不同应用的需求。其中g-期望和G-期望作为具备良好性质的非线性期望，应用非常广泛。在期望的各种性质中，詹森不等式占据着重要地位。本项目拟研究g-期望和G-期望下的詹森不等式，并分析相应凸（凹）函数的形式及性质。具体研究内容如下：一、在平方增长倒向随机微分方程（BSDE）中，不同形式g下的g-凸（凹）函数的形式及性质；二、终端无界平方增长g-期望下的詹森不等式成立的条件；三、带跳BSDE下的詹森不等式成立的条件及相应凸凹函数的性质；四、G-期望及G-BSDE下的凸性分析。本项目将倒向随机微分方程、G-期望理论与经典凸分析相结合，在此过程中需要对一些优化问题和控制问题进行求解并对解进行详细分析。本项目试图通过对g-期望和G-期望下的凸函数和凹函数的透彻分析，更好的扩展其在各领域中的应用。

本项目的研究主要涵盖了以下三个方面。.一、对带跳的倒向随机微分方程（BSDE）构成的期望下的詹森不等式成立的条件进行了研究。 .带跳的BSDE ，是指由泊松跳过程和布朗运动同时驱动的BSDE。Royer(2006)研究了该类BSDE 并定义了相应的非线性期望——f-期望。本项目研究了该非线性期望下的詹森不等式成立的条件。给出了f-凸函数的定义，并类似得出f-凹函数和f-仿射函数的定义。最后分析了f-凸函数的一些性质，及其与相应的只由布朗运动驱动的BSDE产生的g-期望下的凸函数之间的关系。.二、完成了对一类半线性抛物PDE的解的概率解释。.著名的Feynman-Kac公式给出了如下问题的一个解释，即一类二阶线性椭圆PDE和抛物PDE可以表示为一类扩散过程的泛函的期望。.本项目在假设g关于z一致连续的条件下证明了非线性的Feynman-Kac公式。该结论首次给出了q大于0小于1时的一类确定KPZ方程的概率解释。.三、完成了对BSDE上的symmetry问题的研究。.十九世纪中叶，挪威数学家Sophous. Lie将群论应用到微分方程的可积性研究中，他在研究微分方程在什么变换下不变时，创造了连续变换群理论，现在一般称为李群理论。李群理论本质上是一种对称，即Symmetry。用对称方法研究确定性的微分方程（包括偏微分方程和常微分方程）的可积性已经取得了一系列重要的成果。接着二十世纪九十年代开始，Misawa 以及后来的Gaeta等人开始着手将对称方法应用到随机系统中来。他们发现对称方法在随机系统（随机微分方程）中也能产生很大的作用。随后一系列的文章开始研究这个问题，直到目前依然有大量这方面的文章出现。.但是在BSDE中，symmetry理论的研究和应用尚是空白。.我们将symmetry理论应用到了倒向随机微分方程中。研究了simple deterministic symmetry、simple random symmetry、W-symmetry等不同的symmetry对应的确定方程的形式。具体的举例说明了用symmetry通过BSDE的一个解来构造另一个解得方法，研究了其性质。证明了simple random symmetry 在简单随机变换中保持不变的性质，并研究了BSDE下相应的Kozlov理论。