几何和物理中的非线性偏微分方程

Many problems in geometry and physics are described by partial differential equations. In this project, we will discuss the blow-up of solution to Willmore flow and surface diffusion flow, the extension of the solution to the mean curvature flow, and the electromagnetic wave scattering and inverse scattering problems for rough surfaces. These problems are challengable from the mathematical point of view. There are global existence results due to G. Simonett, E. Kuwert and R. Schätzle for the Willmore flow of spheres. In this project, we would like to understand whether the Willmore flow or other fourth order flow develops finite time singularities, in other words, we will study under what conditions on theinitial surfaces the Willmore flow develops singularities in finite time. As forthe extension of the mean curvature flow, we plan to show the extension property by assuming that the mean curvature is uniformly bounded. We also study some nonlinear elliptic or parabolic problems on metric measure spaces with RCD*(K,N) condition. The another target is to understand the scattering and inverse scattering problems for the electromagnetic wave. We try to establish the existence and uniqueness result through generalized Lax-Milgram theorem and Hodge-Helmholtz decomposition.

几何和物理中的很多问题都可以由偏微分方程来描述。本项目拟考虑Willmore流及曲面扩散方程解的爆破性，平均曲率流的解的可延拓性，以及具有粗糙表面的电磁波的散射和逆散射问题。这些问题在理论上都具有一定的挑战。G. Simonett, E. Kuwert 和R. Schätzle 在球面上的Willmore流的研究方面得到了一些整体存在性结果。我们的目标是研究对初始曲面加什么条件时，Willmore流或曲面扩散流在有限时刻出现奇性。而对于平均曲率流的解的延拓，我们试图通过要求平均曲率一致有界推导出解可以继续往后延拓。我们还研究具有RCD*(K,N)条件的度量测度空间上的非线性椭圆和抛物方程的解的存在性和解的性质。关于物理中的问题，我们着重考虑无界区域上的电磁波的散射和逆散射问题，我们将通过广义的Lax-Milgram定理以及Hodge-Helmholtz分解证明相应变分问题的解的存在唯一性。

本项目主要研究几何和物理中的一些偏微分方程。在抛物型Allen-Cahn方程的研究中，我们利用几何测度论和解的精细估计，证明了当参数收敛到零时由解生成的能量测度的重整化测度收敛到一个Radon测度，该测度诱导出一族Varifold, 它们几乎处处是Rectifiable，而且形成了广义平均曲率流，即Brakke 流。在平均曲率流的第三类爆破问题上，我们证明了平均曲率流的自扩张子的单调性公式，并利用它研究非紧超曲面上平均曲率流第三类爆破在无穷远时刻的渐近行为。我们证明了在一定条件下，平均曲率流第三类爆破解在无穷远处在子列意义下收敛到满足平均曲率向量等于位置向量的法向部分这一条件的超曲面。在电磁波的散射问题的研究上，我们考虑在三维空间上半平面上的时谐Maxwell方程。以前的工作考虑的一般都是物质参数具有正的虚部的情形。在某些地方物质参数是实数的情况时人们讨论的是一些特殊的情形。而一般情形是一个公开问题，我们试图考虑这种更一般的物质参数的情形。通过Hodge分解、推广的Lax-Milgram、以及解的先验估计等方法得到了在满足辐射条件下，电磁波的散射场的存在唯一性。