Alexandrov空间和度量测度空间中抛物型偏微分方程的研究

曲率是微分几何学中最为重要的概念,它有助于了解流形的几何和拓扑性质。最近有人把曲率的概念从光滑的Riemann流形推广到更一般的空间上出。Sturm和Lott-Villani同时在度量测度空间上上提出了"Ricci曲率有下界 "的概念。本项目主要研究Ricci曲率有下界的度量测度空间或Alexandrov空间中的偏微分方程或者梯度流的解的存在性、唯一性、稳定性或者解的定量性质。这些研究不仅涉及数学内部的不等式、几何、非线性偏微分方程、动力系统等等，而且在统计物理、生物系统等领域中可以找到应用。因此，我们的研究，既能丰富偏微分方程和度量几何理论，又能促进其它数学分支和应用分支的发展，因而无论从理论上讲还是从应用上讲都是十分有意义的。

本项目研究了一些度量测度空间上的偏微分方程的解存在性和性态。在考虑介观尺度下的电磁场现象时，我们考虑二维平面上的非线性Maxwell方程，证明了奇异解在奇点附近的上下界并得到了奇异解在一定条件下的分类定理，证明了整体解和奇异整体解的存在性，并分析了它们的振荡性和解的长时间行为。研究了一个半线性抛物型偏微分方程Quenching 问题的二分性。我们还考虑三维及以上维数的空间中有界光滑区域上的带有临界Sobolev临界指数的半线性抛物方程Dirichlet边值问题爆破解的渐近行为。我们研究了调和Ricci流可延拓的充分条件。利用Blow-Up技巧我们证明了在Ricci曲率一致有界的条件下，调和Ricci流可继续向后延拓。研究了Ricci流的约化熵。引入了非紧流形上的加权的前向约化体积，并证明了加权的前向约化体积在Ricci流下是单调下降的且与Ricci流的expanding soliton密切相关。研究了平均曲率流中的Huisken泛函在极小曲面上的渐进性质，证明了 Huisken泛函在极小曲面上的极限就是极小曲面的外在渐进体积。研究了渐进平坦的非紧黎曼流形上Yamabe流和ADM质量的关系，证明了Yamabe流下黎曼流形的渐进平坦性是保持的，而且ADM质量在Yamabe流下是单调下降的。得到了具有CD(n-1,n)的n维Alexandrov 空间上的Bishop体积比较定理； 将G. Perelman关于具有正Ricci下界以及几乎最大体积Riemannian流形的拓扑刚性定理推广到了Alexandrov空间。这些问题都在理论上有重要的意义。