生物学和物理学中的一些偏微分方程问题

本项目旨在对几类来源于生物学和物理学问题的非线性偏微分方程进行严格的数学理论分析，建立这些偏微分方程初值问题在一些函数空间中的适定性，并研究它们的解在时间趋于无穷时的渐近性态，包括对相应的稳态方程和稳态解进行研究。这几类方程包括：描述肿瘤生长的偏微分方程，描述细胞分裂繁衍的偏微分方程，来源于流体力学的Navier-Stokes方程，描述带电粒子流运动的NSNPP方程，来源于材料物理的向列性液晶流方程，以及粘弹性流体力学方程等。这些偏微分方程的共性是它们都是抛物型方程、传输方程以及这些类型偏微分方程的耦合，都可以采用半群理论和Banach空间上的微分方程理论进行研究，因而在处理方法上都有共性。我们期望通过对这些具体的偏微分方程的研究，为相关的生物学和物理学问题的理论研究提供坚实的数学基础，并希望通过对这些具体方程的研究，在数学理论上有所创新。这无疑具有重要的理论意义。

本项目研究了以下几类来源于生物学和物理学问题的非线性偏微分方程: (1) 描述肿瘤生长的偏微分方程自由边界问题； (2) 描述细胞分裂繁衍的偏微分方程； (3)人口迁移方程及相应的传染病传播方程； (4) Navier-Stokes方程及相关的偏微分方程如粘性Boussinesq方程组、磁流体动力学方程组、向列性液晶流方程组、NSNPP方程组(Navier-Stokes-Nernst-Poisson-Planck方程组)等；(5) 其他来源于物理学的非线性发展方程如非线性Schrodinger方程组、水溶液电解学理论的Debye-Huckel方程组、随机Kuramoto-Sivashinsky方程与随机Ginzburg-Landau型方程的耦合组、贝塔型准地转方程、Keller-Segel方程组等. 对第(1)类方程, 研究了Pettet模型球对称稳态解的渐近稳定性,证明了球对称稳态解不仅在球对称摄动下是渐近稳定的,而且在非球对称摄动下是线性稳定的,并对有抑制物作用的Byrne-Chaplain肿瘤模型和有抑制物作用的带有Stokes 方程的流体型肿瘤模型，应用分歧方法建立了非球对称稳态解的存在性.对于 (2) 和(3)类方程, 研究了解当时间趋于无穷时的渐近性态，证明了这些方程的解都具有同步指数增长性质. 对(4)和 (5)类方程, 主要研究初值问题的局部适定性、整体适定性和不适定性等问题，证明了它们在一些具有低正则性指标或临界正则性指标的函数空间如临界Besov空间、临界Fourier-Herz空间等中一般初值问题的局部适定性和小初值问题的整体适定性, 或对应地证明了它们的不适定性, 并对Navier-Stokes方程在更广意义下弱解的存在性以及以上各类方程弱解的唯一性准则、弱解的正则性准则和温和解的爆破准则都获得了一些新的成果.其他一些相关问题如相干耦合的非线性Schrodinger方程组多行速孤立子解的存在性等问题, 也获得了一些结果.共提交已发表研究论文35篇, 其中31篇发表在SCI或SCIE类杂志.