随机偏微分方程中一些前沿问题的研究

随机偏微分方程是随机微分方程和随机动力系统理论研究的深化，也是当今随机分析研究的热点之一，尤其是对涉及到流体力学等有深刻物理背景的随机偏微分方程，有极为重要的理论价值和实际意义。当流体同时独立地受到连续和间断的两类噪声影响时，其动力学行为会发生怎样变化是本课题研究的主要内容。本课题的研究，不仅对流体力学本身有重要的理论和实际意义，而且对深入理解和研究无穷维随机动力系统也会有重要的帮助。本项目研究的主要问题：(1)研究由Levy过程驱动的随机偏微分方程解的存在唯一性、解的遍历性、泛函不等式和大偏差等；(2)研究由Levy 过程驱动的随机二维Navier-Stokes方程解的存在唯一性，解的遍历性及指数遍历性和大偏差等；(3)研究由Levy过程驱动的三维随机Navier-Stokes方程和Prouse模型弱解的性质；(4)发展随机可积系统精确解方法，研究随机可积系统的对称。

本项目主要研究了随机偏微分方程的一些性质，包括：(1) 研究Levy过程驱动的线性随机偏微分方程解的存在唯一性；在Brown运动白噪声非退化条件下，研究了解的遍历性，关于不变测度的分部积分公式和Poincare不等式。(2) 研究Levy过程驱动的随机2维Navier-Stokes方程弱解的存在唯一性、遍历性以及解的指数稳定性态。(3) 研究Levy过程驱动的随机偏微分方程和Burgers方程解的Kolmogorov算子的性质及其所确定的Fokker-Planck方程解的性质。(4) 研究Levy过程驱动的线性随机微分方程解的梯度估计和Harnack不等式等。(5) 研究带跳的随机动力系统随机吸引子和Lyapunov指数等。(6) 非线性随机可积系统的研究，给出了若干类随机可积系统的白噪声泛函解的表达式。