欧拉方程及其衍生演化的几类非线性偏微分方程的研究

This project is mainly to study Euler equations and its derivative of several nonlinear partial differential equations: Concerning higher dimensional full compressible Euler equation, we mainly research the local existence and uniqueness of solution, the blow-up mechanism of solution, the existence of weak solutions and the blow-up phenomenon of classical solution in a finite time. On high dimensional classic incompressible Euler and isentropic incompressible Euler equations, using the variational method and spectral theory analysis, we mainly study the nonlinear instability of equations . As for gas dynamics equations, we mainly research the existence and uniqueness of weak entropy solution to the equation in Eulerian coordinate with Lagrangian coordinates , and compare the relationship of the solutions are obtained in two different coordinates and the corresponding underlying physical mechanism. Finally, for two-dimensional, three dimensional isentropic incompressible Euler equation, by using Large critical mode expansion induced by Lagrangian transform technology, we mainly study the strong local ill-posedness of equations in critical spaces H^s and C^m. Euler equation is derived from multiple branches of physics, such as fluid mechanics, aircraft manufacturing, and other fields. Therefore, our research of this project is not only very important in mathematics method and theory, and has important meaning in physics and practical application.

本项目主要研究数学物理中的Euler方程及其衍生演化的一些非线性偏微分方程：关于高维完全可压缩Euler方程，主要研究其方程解的局部存在性与唯一性，解的爆破机制，弱解的存在性与经典解在有限时间内的爆破现象。关于高维经典不可压Eule与等熵不可压Euler方程，利用变分法与谱理论分析，主要研究方程解的非线性不稳定性。关于气体动力学方程，主要研究在Eulerian坐标与Lagrangian 坐标下方程熵弱解的存在性与唯一性，并比较两个不同坐标得到解的相互关系以及对应内在的物理机制。最后，对于二维三维等熵不可压Euler方程，借助于Large Lagrangian 变换诱导的临界模膨胀技术，主要研究方程在临界空间H^s与C^m中强局部不适定性。Euler方程来源于物理学多个分支，如流体力学，飞机制造业等领域，因而对它们的研究不仅在数学方法和理论上非常重要，而且在物理和实际应用中都有重要的意义。

本项目主要研究数学物理中的Euler方程及其衍生演化的一些非线性偏微分方程：关于高维完全可压缩Euler方程，主要研究其方程解的局部存在性与唯一性，解的爆破机制，弱解的存在性与经典解在有限时间内的爆破现象。关于高维经典不可压Eule与等熵不可压Euler方程，利用变分法与谱理论分析，主要研究方程解的非线性不稳定性。关于气体动力学方程，主要研究在Eulerian坐标与Lagrangian 坐标下方程熵弱解的存在性与唯一性，并比较两个不同坐标得到解的相互关系以及对应内在的物理机制。最后，对于二维三维等熵不可压Euler方程，借助于Large Lagrangian 变换诱导的临界模膨胀技术，主要研究方程在临界空间H^s与C^m中强局部不适定性。Euler方程来源于物理学多个分支，如流体力学，飞机制造业等领域，因而对它们的研究不仅在数学方法和理论上非常重要，而且在物理和实际应用中都有重要的意义。