几类非线性偏微分方程组的定性研究及应用

We study the existence, non-existence, essential uniqueness, and asymptotics of solutions to the Hardy-Littlewood-Sobolev， Schrödinger, and Navier-Stokes types systems of nonlinear partial differential equations. These equations arise from and are useful in geometric analysis、fluid dynamics、and quantum mechanics. We plan to study the asymptotics for solutions of the HLS type、Schrödinger type, and Navier-Stokes equations. Specifically, we aim at establishing the existence in the supercritical case, the essential uniqueness in the critical case, and the nonexistence in the subcritical case for HLS and Schrödinger type systems. Another important goal is to derive certain sharp asymptotic estimates for solutions to equations of HLS, Schrodinger, and parabolic types and applying it to the study of the global well-posedness of the axi-symmetric Navier-Stokes equations. Finally, an essential and major component of this proposal is the training of graduate students and young mathematicians through weekly group discussions, joint study of frontier research papers, frequent workshops, and yearly conferences. Leading the young researchers toward wider and deeper understanding of mathematics through collaborative research is also an important goal here.

本项目研究Hardy-Littlewood-Sobolev型、Schrödinger型和Navier-Stokes等非线性偏微分方程组在不同情况下解的存在性、不存在性、本质唯一性以及解的渐近分析。这些研究将以在几何分析、流体力学和量子力学中的应用为中心开展。我们希望得到有较强应用意义的HLS型、Schrödinger型和Navier-Stokes方程组解的最佳渐近估计并得到临界情形下解的本质唯一性和次临界情形下Liouvile型定理。我们也将通过进一步发展和完善度理论打靶法来研究HLS型和Schrödinger型方程组在超临界情形下解的存在性。证明轴对称Navier-Stokes方程古典解的整体存在性是我们研究最佳渐近估计的目的之一。通过该项目的研究，我们希望加强对学生和青年教师的培养，积极开展与一流数学家的合作与交流并通过合作研究培养发展由硕士生、博士生以及青年教师组成的研究团队。

分数阶Laplace方程出现在不同的物理模型中,例如异常扩散,准地转流,动荡和水波, 分子动力学,边界控制问题,伪相对论等，因此被广泛研究。其中,解的对称性, 单调性以及解的不存在性是分数阶椭圆和抛物方程定性研究中的重要论题. 本项目的主要成果体现在：.1) 对分数阶Laplace算子得到了逐点的极大值原理，作为应用得到了半线性分数阶方程解的在有界凸区域上的对称性和无界凸区域上的单调性；.2) 对分数阶上调和方程的奇异解和反对称的奇异解建立了极大值原理，对分数阶上调和方程的解建立了Bocher定理，为研究分数阶方程的奇异解提供重要方法和工具。.3) 建立了一整套适用于分数阶Laplace方程和分数阶p-Laplace方程解的直接移动平面法。首先，基于分数阶Laplace算子的定义，我们得到了直接移动平面法的两个重要工具-狭窄区域原理和无穷远处衰减原理。作为应用，得到了分数阶方程在单位球内的对称性和全空间解的不存在性。另外，对于分数阶次临界方程的解建立了Liouville定理，对于临界方程给出了解的分类。.4) 课题组在Poincare-Einstein流形的刚性定理方面得了一些有原创性的重要结果。. 这些结果为偏微分方程的研究尤其是分数阶方程的研究提供思路和方法。这些结果也可为研究更一般的非局部算子提供新的方法和思路。