几类非线性退化型偏微分方程解的研究

Our project mainly deals with the properties of solutions for the following problems: 1. the properties of solutions for a class of nonlinear degenerate partial differential equations on singular manifolds with one or multiple totally characteristic degenerate directions; 2. the stability and wellposedness of boundary layer of Prandtl equations; 3. the stability of water waves with vorticity. Those problems all came from applied scienes with fruitful geometrical and physical background. Since those PDEs are nonlinear, degenerate or with free boundary, there are still big challenges nowadays for mathematicians . Based on preliminary work and existing result, we found that the nonlinear analysis , especially microlocal analysis and dynamic system are effective methods to deal with them. In this project, we will investigate continuously on above-mentioned problems and try to obtain more deep results.

本项目主要研究以下几类退化型偏微分方程解的性质问题：1、带一个或多个全特征退化方向的非线性偏微分方程的解的性质研究；2、Prandtl方程的边界层的稳定性以及旋转流体适定性问题；3、旋转水波的稳定性问题。这些问题均来自于应用科学领域，具有丰富的几何与物理背景。由于上述问题具有非线性、退化性以及自由边值等复杂性，给数学研究带来很多的困难和挑战，也因此成为最近几十年来偏微分方程研究中的热点问题。本项目申请人及其参加者在以上三个方面有较多的工作积累，我们运用非线性分析、微局部分析，以及正规型和空间动力系统等方法得到了一些很好的结果，本项目的申请既是前期工作的延续，也是更进一步和更深层次的研究，因此本项目的立项是有坚实的基础的。

本项目主要研究了几类退化型偏微分方程解的性质问题，这些问题均来自于应用科学领域，具有丰富的几何与物理背景。本项目负责人及其合作者运用非线性分析、微局部分析和空间动力系统等研究方法得到了一些很好的结果。在本项目的资助下，我们正式发表了SCI论文23篇，其他论文2篇，出版学术专著1部。具体工作如下：1、在全特征退化型非线性偏微分方程的解的性质研究方面，我们分别研究了奇异流形上带全局投影性质的边值问题，得到了一系列研究成果；利用截断技巧和变分方法得到了带超临界指标的全特征退化非线性偏微分方程的解的存在性结果；解决了奇异流形上双调和型全特征退化算子的临界非线性方程的解的存在性问题；另外我们还研究了紧Riemann流形上的非线性p-Laplace方程以及其他类型的非线性偏微分方程（组）的解的性质问题，得到了一系列研究结果。这部分的研究我们共发表科研论文11篇，出版学术专著1部。2、在Prandtl方程的边界层的稳定性以及旋转流体适定性问题方面，我们研究了Prandtl边界层方程的适定性问题，给出了方程在临界Gevrey空间的局部适定性；研究了Boltzmann方程Cauchy问题解的正则性问题，建立了最佳的次椭圆估计；研究了关于带磁场外力的Fokker-Planck算子的谱性质问题，得到了其预解式紧性的判别法则。这部分的研究我们共发表科研论文11篇。3、在旋转水波的稳定性问题方面，我们研究了受重力作用的旋转双层水流问题，得到了二维周期稳定内波及表面波的解析性；研究了具固定深度的无旋地球稳定周期波问题，得到了周期波的存在性结果; 研究了深度有限，上下边界均固定且受重力及内界面张力作用的二维旋转双层流问题，得到了中小振幅孤立界面行波的存在性。这部分的研究我们共发表科研论文3篇。