Mather理论与Hamilton-Jacobi方程的粘性解

我们的研究课题主要是关于Hamilton系统的变分研究，即Mather-Ma?é理论以及Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论，它们对于研究Hamilton系统动力学上的稳定性与不稳定性都极为重要。我们主要的研究目标是关于Hamilton-Jacobi方程粘性解的正则性，以及它与Hamilton动力系统的扩散轨道、各类极小不变集的动力学行为的密切关系。我们主要将利用变分方法，结合PDE，优化等方面的工具，给出粘性解关于平均作用量c的正则性的较为精细的刻画。进而探讨这些结果在Hamilton动力学上的已经可以看到的诸多应用。这是一种比较新颖的处理方法，我们将研究频率h的算术性质与粘性解的正则性之间的关系，一些先前的结果使得我们看到这一问题解决的希望。

本项目主要的研究计划围绕Hamilton动力学中的Mather理论及弱KAM理论展开，研究正定Hamilton动力系统的各种变分意义下极小轨道的动力学性质。我们主要从以下几个方面进行了研究。.一，我们研究了正定Hamilton系统的可积性的变分刻画，也就是说系统的α函数的正则性与系统的正则性（即可积性）之间的联系。我们证明了对于一般的力学系统，只要势能函数具有Morse非退化性（比如解析），则α函数的光滑性与严格凸性蕴含了系统的可积性，并且进一步建立了系统的α函数的极大点集的拓扑结构与系统可积性之间的关系。从而部分解决了这一“刚性”问题，这个问题对于Hamilton系统以及Riemann几何都是及其深刻的问题。.二、我们利用Hamilton-Jacobi方程的粘性解证明了高维情形Birkhoff不变曲线定理的一个部分推广，并且，给出了扭转映射情形Birkhoff不变曲线破裂的变分描述。我们还给出了Mather的变分原理（或弱KAM理论）与Jacobi-Finsler几何的关系，可以将其看成广义的Maupertuis原理。.三、对于弱KAM解，我们研究了退化不动点情形Lax-Oleinik半群的收敛速度的精确估计，以及时间周期正定Lagrange系统的半群的收敛性。并给出了一类由系统动力学决定的新的Lax-Oleinik半群，证明了它的收敛性问题。.本课题的研究是按照项目计划书执行的，取得了许多这一领域的重要进展。