弹性力学中鞍点问题的高效预处理方法与理论

Meshfree (or meshless) methods are a class of newly developed numerical methods for solving partial differential equations. It is currently the hot topic in areas of computational mathematics and computational mechanics, and is also an important complement and development of traditional numerical methods, such as finite element method. In this project, the element free Galerkin method with the Lagrange multiplier being imposed on the essential boundary conditions, which is the most widely used meshless method, is adopted to study elastic mechanics. The spectral properties of discretized saddle point matrices will be analyzed, some efficient preconditioners will be constructed， convergence of the preconditioning methods and error estimate will be studied. More specifically, we first use the element free Galerkin method to discretize several models (such as plane stress strain problems, thin plate problems, buckling problems and shell problems) in elastic mechanics and analyze the eigenproperty of the discretized saddle point matrices. Then, in order to solve the discretized saddle point linear systems quickly, we seek for efficient preconditioned iterative methods based on the characteristics of the coefficient matrices; properties of the preconditioned matrices and convergence of these iterative methods will be analyzed. Finally, based on the convergence analysis of element free Galerkin method for elastic mechanics and the convergence rate of preconditioned iterative method for saddle point problems, the convergence of numerical methods for saddle point problems from elastic mechanics will be studied.

无网格方法是一种新兴的求解偏微分方程的数值计算方法，是当前计算数学与计算力学领域的热门课题，也是对有限元等传统数值分析方法的重要补充和发展。本项目采用无网格方法中精度最高、应用最广的基于Lagrange乘子法施加本质边界条件的无单元Galerkin方法来研究弹性力学问题，分析离散大型稀疏鞍点矩阵的谱性质，构造高效的预处理子并分析求解方法的收敛性和误差。为此，我们首先对几类弹性力学模型（如平面应力应变问题、薄板小挠度问题、屈曲问题、壳问题等）进行离散得到鞍点型矩阵，并分析这类矩阵的谱性质。其次，为达到快速求解这类鞍点问题的目的，根据离散得到的大型稀疏鞍点型线性方程组系数矩阵的基本特点，寻求高效的预处理方法，并分析预处理矩阵的谱性质和迭代法的收敛性。最后，根据弹性力学的无单元Galerkin方法的收敛性分析和鞍点问题预处理方法的收敛速度研究弹性力学中鞍点问题数值解法的收敛性。

鞍点问题的高效预处理方法是数值代数领域的研究热点问题，而预处理子的构造往往跟问题本身和所采用的数值离散方法有关。在本项目中，我们主要研究弹性力学模型用全局弱式无网格方法离散所得大型稀疏鞍点问题的高效预处理方法及其收敛性理论。首先，我们采用基于移动最小二乘近似和基于径向基函数点插值的两种无网格方法离散弹性力学模型。针对移动最小二乘近似中出现奇异力矩矩阵的原因进行了理论分析并提出了改进方法；针对径向基函数点插值方法构造形函数时每个计算点处都要求一个鞍点矩阵的逆的缺点，提出了一种加权节点径向基函数点插值无网格方法和一种分层插值无网格方法，不仅从理论上保证了形函数的插值性，还极大地提高了计算效率。其次，我们分析了离散所得鞍点矩阵的谱性质，并根据其特殊结构构造了三类高效的预处理子，即位移分裂预处理子、松弛矩阵分裂型预处理子、Uzawa-PSS型预处理子。对于位移分裂预处理子，我们分析了位移分裂迭代法的无条件收敛性，预处理矩阵的特征值分布、最小多项式等性质；对于松弛矩阵分裂型预处理子，我们分析了对应分裂迭代法的收敛性条件，拟最优因子的选取，以及预处理矩阵的谱分布、最小多项式等性质。对于Uzawa-PSS型预处理子，我们给出了Uzawa-PSS分裂迭代法的收敛性条件。最后，给出了无单元Galerkin方法求解弹性力学模型的数值收敛性分析。该项目的研究为进一步提高无网格方法求解弹性力学问题的计算效率以及其他应用中出现的鞍点问题提供了有效的工具和手段。. 另外，还在以下方面取得了扩展性研究成果：（1）将位移分裂预处理子推广到奇异鞍点问题上，得到了迭代法的半收敛性和预处理矩阵的谱性质等理论结果；（2）将松弛矩阵分裂型预处理子推广到Navier-Stokes方程离散所得非对称鞍点问题上，从理论上得到迭代法的收敛性条件、收敛速度等结论；（3）针对时谐涡流电流模型中的鞍点问题，提出了一类交替半正定分裂预处理子，从理论上分析了迭代法的无条件收敛性并给出了参数的实用计算公式。