压电结构无网格离散中结构化鞍点问题的高效预处理方法与收敛性理论

Piezoelectric structure is a very important electro-mechanical coupling problem in engineering applications. The radial point interpolation-based meshfree (or meshless) method， which is rapidly developed in recent years, is one of the most efficient numerical discretization methods for solving partial differential equations. Constructing shape functions and discretizing piezoelectric structure equations by radial point interpolation-based meshfree methods, some special (even very ill-conditioned) large systems of linear equations need to be solved in general. Efficient and accurate solutions of these systems are the key points of the whole numerical simulation. For saddle point problems arising from the radial point interpolation-based meshfree discretization methods of the piezoelectric structures, the eigenproperties of the special saddle point matrices are studied firstly based on the electro-mechanical properties of the piezoelectric structure and the shape functions used in the meshfree method. New techniques for finding the quasi optimal shape parameters of the radial basis functions will be established. By combining the Krylov subspace iteration methods, the fast Fourier transform and inexact solvers, some new efficient preconditioning techniques will be studied. The new preconditioners will not only reduce the condition numbers of the saddle point matrices, but also improve the computational efficiency of the meshfree methods greatly. Finally, based on the mathematical theories of meshfree methods and preconditioned iterative methods, the convergence rate and the order of error of numerical methods for saddle point problems from meshfree discretization of piezoelectric structures will be studied.

压电结构是工程应用中非常重要的一类力电耦合问题。近些年迅速发展起来的基于径向基函数点插值型无网格方法是求解偏微分方程非常有效的数值离散方法之一。用径向基函数点插值型无网格方法构造形函数以及离散压电结构方程时，需求解具有特殊结构（甚至几乎病态）的鞍点问题类型的线性代数方程组，这些鞍点问题的高效精确求解是整个数值模拟的基础和关键所在。针对压电结构用径向基函数点插值型无网格方法离散中出现的鞍点问题，本项目首先根据径向基函数的性质和压电材料的力电耦合性质，分析特殊鞍点矩阵的结构和谱性质，并寻求径向基函数形状参数的最优选取方法；其次，结合Krylov子空间迭代法、快速傅里叶变换、不精确求解等工具，探索高效的预处理技术，使之不仅能有效的降低预处理矩阵的条件数，还能提高无网格方法的计算效率；最后，根据无网格方法和预处理迭代法的数学理论研究压电结构无网格离散中鞍点问题数值解法的收敛性和误差阶。

压电结构是工程应用中非常重要的一类力电耦合结构。为了对压电结构的机电耦合行为进行建模、仿真和分析，需对压电结构的机电耦合方程(简称为压电方程)进行高效数值求解。由于压电方程的力电耦合性质和压电材料的性质，离散出的代数方程组具有广义鞍点矩阵结构且非常病态，因此构造高效的预处理子以快速求得离散代数方程的解从而高效数值模拟压电结构的性能显得尤为重要。..在本项目中，我们主要研究压电方程用基于径向基函数点插值型无网格方法离散所得大型稀疏鞍点问题的高效预处理方法及其收敛性理论。首先，我们对无网格方法中本质边界条件处理的最新研究成果进行了高度凝练和总结，同时对径向基函数进行了深入研究，利用无限光滑和分片光滑径向基函数的各自优点，提出了一种耦合径向基函数无网格方法，结果表明数值解的精度和离散矩阵的条件数均几乎与形状参数的选取无关，很好地解决了径向基函数中形状参数选取的难题。其次，根据压电方程的物理性质、无网格方法数值离散格式和鞍点矩阵的特殊结构，构造并研究了五类预处理子，即改进型位移分裂预处理子、松弛矩阵分裂预处理子、分块正半定矩阵分裂预处理子及其正则化形式、基于ST分解的块三角预处理子、基于逐次单元加性不精确Schur补近似预处理子，分析了预处理矩阵的谱性质和预处理迭代法的收敛性。最后，将构造的预处理子结合Krylov子空间迭代法求解离散压电方程，给出了整体数值收敛性分析，结果表明基于背景单元构造的加性不精确Schur补块三角预处理子不仅具有稀疏结构，还与理论上最优的块三角预处理子谱等价，是一种求解离散压电方程的最优预处理子。..本项目的研究在一定程度上推动了基于径向基函数全局弱式无网格计算方法的发展，同时也为其他领域的偏微分方程数值解(尤其是耦合偏微分方程，如热力电耦合问题、流固耦合问题等)中出现的大规模具有分块结构的线性代数方程组高效预处理子的构造提供了借鉴，具有一定的推广价值。