特殊鞍点问题的高效预处理技术及在电磁计算中的应用研究

Many important areas of engineering and scientific computing such as computational fluid dynamics,computational electromagnetics, mixed finite element discretization of partial differential equations, optimal control, economics and so on come down to solving large sparse saddle point problems. Due to the strong uncertainty of the coefficient matrix of saddle point problems, it usually requires preconditioner into the equivalent linear equations with excellent nature. This research project is intended for in-depth study of the efficient preconditioning technology for special saddle point problems. One is the discreted mixed time-harmonic Maxwell equations which generate saddle point problems and the other is the nonsymmetric saddle point problems with singular (1,1) blocks. According to the structured characteristics and special nature of these saddle point problems, We plan to design augmentation-free and schur complement-free structured preconditioners and theoretically analyze eigenvalue distribution of preconditioning matrices, corresponding eigenvectors, minimal polynomial, and selection of the optimal parameters. Finally, We intend to combine Krylov subspace methods and apply Maxwell's equations、Oseen equations、Helmholtz equations as well as Stokes equations to do numerical experiments for further validating and comparing the performance of structured preconditioners. Preconditioners and efficient algorithms the project designed have important theoretical significance and practical value.

工程和科学计算中的很多重要领域如计算电磁学、计算流体力学、偏微分方程离散、最优控制等,都涉及到大型稀疏鞍点问题的求解.由于鞍点问题的系数矩阵具有强不定性,通常需要对鞍点问题进行预处理,将其变为具有优良性质的等价线性方程组进行求解.本研究课题拟对特殊鞍点问题的高效预处理技术进行深入研究.一类是离散化混合型时谐Maxwell方程离散产生的鞍点问题;另一类是具有奇异(1,1)块的非对称鞍点问题.根据两类鞍点问题的结构特征和特殊性质,拟设计免增广和免Schur余的结构化预处理子,并对设计的预处理矩阵特征值分布、相应的特征向量、最小多项式和最优参数的选取进行理论分析,最后结合Krylov子空间方法,应用电磁计算中Oseen方程、Maxwell方程、Helmholtz方程和Stokes方程做数值试验,进一步验证和比较其性能.本研究课题拟设计的预处理子将对实际问题的求解提供重要的理论依据和应用价值.

工程和科学计算中的很多重要领域都涉及到大型稀疏线性问题的求解。本课题针对产生的特殊鞍点问题，设计了免增广的结构化预处理子，对设计的预处理矩阵特征值分布、相应的特征向量、最小多项式和最优参数的选取进行理论分析，并结合Krylov子空间方法，应用电磁计算中Oseen方程、Maxwell方程和Stokes方程做数值试验，进一步验证和比较其性能。采用辅助参数与增广技术，更好的调节预处理矩阵特征值的分布，进而获得相对应的实用、可行、高效的预处理迭代算法；针对产生的奇异鞍点问题，设计了一种改进的广义参数化不精确Uzawa算法(IGPIU)，并对设计的算法进行了半收敛性分析，并应用电磁计算中不可压缩稳态斯托克斯方程，在不同的网格下做数值试验求解奇异鞍点问题，并记录迭代步数、运行时间、残差下降曲线和特征值分布，验证了所提算法的性能；设计了模系同步多分裂多参数迭代法、模系同步整体多分裂多参数迭代法,并在松弛参数和多分裂合理限制下,对这些迭代法进行收敛性分析,取得了更弱的收敛性区间，改善了多分裂算法参数收敛的固有模式；针对大型稀疏线性方程组，通过降低整体同步化点和算法重构，设计了适合分布式并行计算的并行双共轭正交残差算法(PBiCOR)，使所有内积计算及矩阵向量乘是独立的，无数据相关性，可进行计算与通讯的重叠，并分析了算法的收敛性、复杂度、并行性和等效率等，解决了迭代方法并行计算的瓶颈问题。本项目所提问题的解决，势必为航空航天、流体力学、计算电磁学、Maxwell方程、油藏模拟、椭圆型偏微分方程的混合有限元离散等计算科学与工程学领域提供一种高校的数值求解计算方法，同时为高效地求解大型稀疏线性问题提供必需的理论依据和应用价值。