表代数、结合概型的一些性质的研究

研究在特殊基底之下满足：每个结构常数$\beta_{ii^*0}$均为正但是$\beta_{ii^*0}=\beta_{i^*i0}$并不总成立的实代数的构造.研究不具有次数映射的Hoheisel 代数的构造. 把有限群特征标中的经典结果（如关于有限群的nonvanishing元的结果、 关于有限群的非线性不可约特征标个数的估计、 关于有限群的不可约特征标最大次数和最大共轭类长的下界估计等）推广到整表代数的情形. 研究幂零表代数、可解表代数的合理定义及各种定义之间的关系. 研究表代数之间的和次数映射相容的代数同构和精确同构之间的关系， 研究幂零表代数之间的同构问题. 研究把结合概型的模限制到正规但非强正规的闭子集的分解问题. 研究系数扩张的交换整表代数的素谱结构. 对结合概型的模表示理论(特别是p-块结构和p-块的亏)作初步探索.

在本项目的资助下，我们完成了本项目的目标。 主要成果有以下几方面： .1. 以二阶复矩阵代数为例， 求出了它作为一个RBA(reality-based algebra)的所有可能基底. 这其中有一部分基底所给出的结构常数满足$\beta_{ii^*0}$均为正， 但是并不一定有$\beta_{ii^*0}=\beta_{i^*i0}.$从而对Harvey Blau提出的一个问题给出了否定回答. .2. 把项目主持人关于有限群的不可约特征标的消失元方面的结果推广到了对偶仍然是交换表代数的表代数，特别地我们证明了幂零交换表代数的非消失元一定是线性元，并把这些结果应用到了结合概型. .3. 在RBA中提出了广义Camina-Frobenius对的概念，从而证明了存在任何维数不小于4的RBA它没有次数映射. 对维数为4的没有次数映射的RBA的具体分类给出了完全刻画. .4. 若一个交换$C$代数的对偶是一个表代数，我们对这样的$C$代数的任何闭子集之外的元素的个数的下界给出了刻画， 并且给出了达到下界的充分必要条件. 这些结果大大的推广了K. Aziziheris, M.L. Lewis的结果， 我们给出了这个结果在有限群特征标、共轭类以及结合概型方面的应用..5. 如果一个表代数的表基是$n$个闭子集的无赘并(irredundant union)， 且表基对这些闭子集的交所得的商代数的正的结构常数不小于1， 我们证明了商代数的阶被$n$的一个函数所控制； 特别地我们把这些结果应用到了特征标环和结合概型. 同时对那些是3个和4个闭子集的并的表代数作了完全刻画.