交换代数中的一些一致性质

交换代数是主要研究诺特交换环的重要数学研究分支，是目前国际上很活跃的研究领域，其研究成果不仅自身具有理论上的深刻性和重要性，也是代数几何等学科的重要研究基础。在交换代数的理论中存在许多依赖于理想选取的结果，例如Artin-Rees引理等，上世纪末著名代数学家Huneke猜测在诺特环的理想为有限生成的背后可能蕴涵着一些深刻的不依赖于理想选取的一致性质，包括一致Artin-Rees性质，一致Briancon-Skoda性质等。目前国际上已经证明了局部优秀环上有限生成代数具有上述一致性质，但对一般的非局部优秀环上的有限生成代数的一致性质仍然知之甚少，连最好的优秀正则环的一致性质都还未完全解决。本项目的主要任务是进一步发展处理这些一致性问题的从局部到整体的有效方法，力争得到一些重要环的一致Artin-Rees性质，一致Briancon-Skoda，以及局部上同调模的一致零化子等一致性质的新结果。

本项目主要研究交换代数的一些一致性质， 包括一致Artin-Rees性质、一致Briancon-Skoda性质等， 是关于交换环的整体性质研究的课题. 目前国际上主要关注的是优秀环的一致性质研究。由于Huneke证明了一致Artin-Rees性质可通过一致Briancon-Skoda猜想和CM(R)猜想得到，在本项目之前我们又已经完全证明了CM(R)猜想，因此研究一致Briancon-Skoda性质是解决这些一致性问题的关键。. 从我们的研究以及国际上的研究来看，要彻底解决一致Briancon-Skoda猜想目前还存在很大的困难。我们转而研究一个比一致Briancon-Skoda性质的问题较弱的问题(1.1)(见报告正文)。我们证明了如果该问题成立，则所有优秀环具有一致Artin-Rees性质。我们把研究的重点放在有限维正则环的商环上，得到了有限维的优秀正则环的商环的极大理想的reduction number具有一致的上界，从而问题（1.1）对正则优秀环的商环的所有极大理想成立。还证明了对于包含有理数域的正则环，如果它的整商环的正则性均满足Jacobi条件， 则该优秀环的整商环具有一致Briancon-Skoda性质, 因而该类正则环及其商环具有一致Artin-Rees性质。这些结果表明我们基本完成了项目的目标。. 除了上述关于一致性问题的研究，项目组成员还研究了局部环上有限生成模的自同态的重数的性质、研究了与非本原复反射群的代数与组合性质，表示理论相关的一些问题以及半群的等一些重要问题。