Maxwell 方程棱有限元超收敛研究

“Cloaking”is a hot research topic in electromagnetic field. The most effective method for cloaking simulation is hp adaptive finite element method, which requires effective posterior error estimators. Superconvergence is one of the ways to construct effective estimators..For finite element discrete scheme of time harmonic Maxwell's equations, we study superconvergence at symmetry points of grids. Numerical experiments are carried out to validate the results. Furthermore, these superconvergence results are used in the design and simulation of electromagnetic wave cloaking device..Compared with the existing research results, there are four innovations in this subject:.(1) This work is aimed to obtain the superconvergence result of linear edge finite element solution at the symmetry points of strongly regular tetrahedral partition..(2) This work is interested in the superconvergence results of second order edge finite element solution at the symmetry points of cube partition..(3) This work plans to get the superconvergence results of second order and third order edge finite element solution at the symmetry points of triangular partition..(4) This work concentrates on the superconvergence result of arbitrary higher order (k>=4) edge finite element solution at the symmetry points of the rectangular partition..The superconvergence of this work has key practical significance. It promotes the design of the electromagnetic cloaking.

电磁波隐身是近几年国际研究热点。隐身模拟最有效方法是hp自适应有限元方法，该方法需要有效后验误差估计指示子。超收敛是构造有效估计子途径之一。 .本课题针对时谐Maxwell方程有限元离散格式，采用棱有限元方法求解，研究限元解在网格对称点处超收敛。进一步地将这些超收敛结果用于电磁波隐身装置的设计与模拟。 .与已有研究成果相比，本课题有四大创新：.第一，本课题拟得到强正则四面体剖分上棱限元解在网格对称点处超收敛结果；.第二，本课题拟得到立方体剖分上2次棱有限元解在网格对称点处超收敛结果； .第三，本课题拟得到三角形剖分上2次及3次棱有限元解在网格对称点处超收敛结果；.第四，本课题拟得到任意高阶(k>=4)矩形棱有限元解在网格对称点处超收敛结果。.本课题超收敛结果具有重要的实际意义，在一定程度上推动电磁波隐身研究。

在过去的三年时间里，本课题针对时谐Maxwell 方程，采用棱有限元方法求解，针对棱有限元解，我们提出了一些后处理的方法，得到了一些超收敛结果，这些超收敛结果将有助于科学家们更进一步了解棱有限元超收敛及其重构技术，也将为Maxwell方程的自适应算法提供有效准确的后验误差估计子。现在将具体的研究成果罗列出来：(1)针对二维和三维Maxwell方程，分别采用线性，二次以及三次棱有限元方法求解，提出了一种新的局部队成技巧，该对称技巧可以将三维和二维的复杂的问题转化为一维的问题来处理，简化了问题，从而简化了理论的证明难度和复杂性，该研究成果发表在“Computer Methods in Applied Mathematics and Engeneering”。 (2)在矩形网格上，我们采用局部对称技巧，重构内部顶点的函数值，在内部顶点，得到了超收敛结果，该研究成果发表在 “Journal of Scientific Computing”上。(3) 研究了强正则网格上，线性棱有限元解的超收敛性，该研究结果发表在 “Communications in Computational Physics”。.(4)针对立方体网格上的二次棱元，我们得到了其在Gauss点处的超收敛，该结果发表在”Applied Mathematics and Computation” 上。(5)针对立方体网格上的棱有限元解，我们采用（2）中类似的局部对称技巧，得到了顶点的超收敛结果，并且针对线性元与二次元，分别与外推以及最小二乘法相结合，得到了全部意义下的超收敛结果，该成果发表在 “Journal of Computational and Applied Mathematics”。.。