Maxwell方程非协调有限元方法研究

研究非协调有限元逼近Maxwell 方程矢量形势curl-curl系统方程时有限元空间诱导范数的结构成分，建立新的误差分析方法；使用Helmholz-Hodge分解，将curl-curl系统方程分解，探索误差估计中不带有ε项和得出丰满的误差估计新形势；使用分级网格剖分方法，对有限元逼近函数在奇异点处进行重新表示，进一步研究非协调有限元逼近Maxwell方程（组）的在非常规区域的误差估计方法；结合实际问题（时谐电磁场，色散媒质中的电磁场，电磁场腔体问题），设计Maxwell方程（组）的大规模科学计算新算法，探索高效节能软件设计，进行数值模拟和比较，修正和完善提出的理论和方法。最后针对以上方法和问题考虑对应特征值的误差分析和计算。由于我们较早在国内开展这一独具特色且有挑战性的工作，且国际上在这一方面的相关工作很少，其创新性和突破性进展对丰富和发展非协调有限元的内容具有重要的理论意义和应用价值。

本项目主要研究了使用非协调有限元逼近Maxwell方程，构造了新的非协调有限元，通过分析传统的C-R非协调有限元逼近电磁场不收敛的原因，使用新非协调元的优秀性质，即法向跳跃可以受到离散的诱导范数控制，建立新的非协调有限元逼近电磁场的框架，使用超收敛技术达到了预想的目标。具体地分析了各项同性等离子介质，德拜介质中电磁波的传播，得到的数值例子表明我们理论的正确性。并使用新有限元分析了的特征值问题，表明了新的非协调有限元的可靠性。同时也将这一方法推广到吸收边界条件中。这些结果在国际国内会议上的报告吸引了国际知名专家S.C.Brenner教授和Jichun Li 教授等的关注，得到了他们的认同，鼓舞了我们进一步的工作。