完备Ricci孤立子上的几何估计与几何结构及Ricci孤立子分类问题的研究

Under the leadership of the mathematician Shing-Tung Yau, researching differential geometry by the approach of analysis and PDE has become an important trend,known as geometric analysis.In geometric analysis,the self- similar solution of Ricci flow (Ricci soliton) has very important significance.In this project,we research the geometric estimates,geometric structure and the classification problems on Ricci solitons,and the content of this project is as follows:1.We firstly establish the eigenvalue estimates,gradient estimates and Harnack inequalities of the characteristic functions of some geometric operators and the solutions of some geometric evolution equations on Ricci solitons without any curvature conditions,then we study the dimension estimates of these two function spaces by using these gradient estimates and Harnack inequalities.We also present the characterization of some geometric properties of Ricci solitons by the eigenfunctions of geometric operators.2.We establish the positive upper and lower bounds for the growth of potential functions on the complete noncompact steady and expanding Ricci soliton, by which we research the asymptotic volume ratio and the asymptotic curvature estimate.3.We prove some geometric inequalities on the Ricci soliton under the weaker curvature conditions,and study the stability of these inequalities to obtain some rigidity properties.4.We construct some new curvature conditions preserved along Ricci flow,and then deal with the classification of Ricci solitons with nonzero Weyl tensor under these curvature conditions.5.We construct the geometric invariants under the conformal deformation on Ricci solitons,then we classify the initial Ricci solitons through the research of the geometric structure on manifolds obtained by the conformal deformation.6.We research the moduli spaces of Ricci solitons and the conformal gradient solitons.

在数学大师丘成桐领导下用分析与方程研究微分几何成为重要潮流,为几何分析.其中Ricci流的自相似解(Ricci孤立子)非常重要.本项目研究Ricci孤立子的几何估计、几何结构与分类:1.建立Ricci孤立子上无任何曲率条件的特征值估计与几何算子特征函数、几何发展方程解的梯度估计与Harnack不等式,研究相应函数空间的维数并用特征函数刻画Ricci孤立子的几何性质.2.建立完备非紧稳定及扩张Ricci孤立子势函数正的上下界增长估计并研究渐近体积比与曲率渐近估计.3.建立Ricci孤立子上较弱曲率条件下一些几何不等式并研究其稳定性.4.构造Ricci流下保持不变的新曲率条件并研究这些曲率下Weyl张量非零的Ricci孤立子分类.5.构造Ricci孤立子共形变换下的几何不变量,通过共形变换后流形几何结构研究与分类原来的Ricci孤立子.6.研究 Ricci 孤立子模空间与共形Ricci孤立子.

在数学大师丘成桐领导下，用分析与微分方程研究微分几何成为一个重要潮流，称为几何分析。几何分析中Ricci流的自相似解——Ricci孤立子有重要的研究意义。在本项目中我们主要研究了完备Ricci孤立子上的几何估计、几何不等式、Ricci流理论的应用以及函数空间上的Toeplitz算子，主要包含如下5个方面。1.研究了几何发展方程解的梯度估计与Harnack不等式，得到了Laplacian算子特征值上下界估计的新证明以及在随时间演化的Ricci孤立子上的单调性，给出了Ricci孤立子等距同构于空间形式的特征函数刻画。2.在一定几何条件下建立了完备非紧扩张Ricci孤立子势函数的较精确的正上下界增长估计，研究了其水平集的性质，进而得到了满足一定条件的完备非紧扩张Ricci孤立子的体积增长估计与渐近体积比的一些结果。3.研究了平面上一大类与面积、周长、曲率中心及曲率半径积分等几何量有关的逆向等周不等式及其稳定性，得到了一些刚性结果，应用凸型矩阵函数的Hermite-Hadamard型不等式给出了Ricci孤立子一个有意义的体积估计。4.利用Ricci流理论给出了黑洞的一个数学模型，基于流形的几何结构改进了流形学习中的LLE算法和深度学习中的人脸识别方法，建立了一个有用的q-Lucas型定理。5.研究了双圆盘Bergman函数空间上的Toeplitz算子的亚正规性与半交换子，给出了非平凡约化子空间的刻画，引入了L拓扑空间与L序的概念并研究了其性质，提出了2个解决3×3守恒律系统黎曼问题的数值程序。项目组成员已发表学术论文17篇，其中SCI期刊论文12篇，EI会议论文2篇，接收发表论文2编，其中1篇为EI会议论文，编写了一本《几何背景下的数学物理方法》教材。发现了流形学习中大多数算法都基于对流形几何结构的统计学解读，提出了将流形几何结构研究与流形学习中所遇到的实际问题结合起来的新观点并开始了相关研究。项目负责人高翔在项目执行期间还主持了2个研究项目并获得了一些奖项。