偏微分方程的边界辨识问题

腐蚀边界的确定问题是无损探伤中的一个热点和前沿课题，在钢铁生产和核.电生产等领域有重要的应用背景，归结为数学模型即为椭圆方程与抛物方程的边界辨识问题又叫反边界问题，由于这些问题是不适定问题，即微小的测量误差会导致结果的巨大差异，甚至完全不反映真实情况，因此数值计算是极其困难的。研究高效、稳定的正则化算法和相关理论是目前实际应用中迫切需要解决的问题。本项目拟用若干正则化方求解椭圆方程或抛物方程中的腐蚀边界问题，数值模拟和相关的理论分析是我们的研究重点，同时也希望能在钢铁公司等部门得到具体应用。

在项目执行期间，我们对Laplace方程和热方程的边界辨识问题展开了较深入的研究，给出了热方程移动边界辨识问题的唯一性证明，并应用基本解方法和线方法结合各种正则化技术进行数值求解，取得了比较有应用价值的研究成果；对Laplace方程的Robin系数反演问题我们给出了一种基于基本解方法离散的优化方法，并应用共轭梯度法求解优化问题，最终得到近似Robin系数；我们还对反散射领域中确定边界及阻尼系数问题进行了研究，利用线性采样法得到腔体的边界同时借助积分方程的理论确定其表面阻抗，得到了较高水平的研究成果。由于项目进展顺利和课题的自然延伸，我们还对几个分数阶偏微分方程的反问题展开了探索性研究，提出了新的磨光正则化方法，并应用Fourier截断方法研究了半无界区域上的Cauchy问题，反初值问题、逆边值问题等，这些研究有较大的前沿性；对同时重构热源和初值的复杂反问题我们也进行了探索性研究，给出了基本解求解方法。 另外对上一个项目的遗留问题，关于基本解方法求解Laplace方程Cauchy问题的收敛阶分析给出了有较大新意的结果。. 项目执行期间我们共发表了34篇SCI文章，还有2篇论文在出版中。项目负责人在项目执行期间有7名博士研究生和8名硕士研究生顺利毕业。三年期间，项目组成员出国（出境）访问5人次，参加国际学术会议13人次，其中大会邀请报告2人次，参加国内学术会议3人次。另外，我们也邀请了国内外高水平的学者来访2人次。. 总之，项目进展顺利，成果显著。