分数阶扩散波方程反问题的理论及正则化方法研究

In this project, we will study deeply and widely some inverse problems for time fractional diffusion wave equations and time-space fractional diffusion euqations, including backward problems, inverse source problems, non-characteristic Cauchy problem, identification of diffusion coefficient, zeroth-order coefficient and fractional oreder for time fractional diffusion wave equations as well as backward problem and invers source problems for time-space fractional diffusion equations. The time fractional diffusion wave equations have wide applications on the anomalous superdiffusion in porous media、wave propagation in viscoelastic material、relaxation phenomena in complex viscoelastic material and image processing and so on. The study of inverse problems for the time fractionl diffusion wave equations is new topic. In this project, we will investigate exploringly those inverse problems for time fractional diffusion wave equations and time-space fractional diffusion equations on both of mathematcial theory and computational methods. Based on the mathematcial analysis of ill-posedness and uniqueness, we will provide and employ some regulariation methods, such as the Tikhonov regularization method, quasi-reversibility regularization methods, quasi-boundary value regularization methods, iteration Tikhonov regularization methods, etc. We try to give the convergence orders under the suitable choices for a priori and a posterior regualrization parameters. Through the various numerical examples, we will figure out some efficient methods with high accuracy and high stability.

本项目将对时间分数阶扩散波方程和时间空间分数阶方程的反问题展开系统和深入的研究，内容包括时间分数阶扩散波方程的反初值问题、源项辨识问题、非特征柯西问题、扩散系数辨识、零阶项系数辨识、分数阶阶数辨识等问题及时间空间分数阶方程的反初值问题和源项辨识问题。分数阶扩散波方程在多孔介质中的反常超扩散、弹性材料的波导、复杂粘弹性材料的松弛现象、图像处理等中有重要的应用背景，其反问题的研究是一个新的研究课题。本项目中，我们将对分数阶扩散波方程和时空分数阶扩散方程反问题的理论及计算方法做创新性研究，通过对问题不适定性的分析和唯一性证明, 有针对性地提出和应用一些正则化方法如Tikhonov正则化、拟逆方法、拟边值正则化方法、迭代Tikhonov正则化法等求解上述问题，给出先验和后验正则化参数选取规则下的收敛阶分析，对各种算例进行数值模拟，找到可以实际应用的高效稳定算法。

本项目，我们主要关注分数阶扩散波方程的反问题，系统地研究了初值反演、未知源识别、扩散系数和反应系数的辨识等问题。对各种反问题的不适定性、唯一性和条件稳定性进行深入研究, 提出和应用一些正则化方法对反问题进行数值求解。. 我们注意到分数阶扩散波方程的反问题与相应的扩散方程反问题有一些本质区别，例如，由终止时刻的数据不能唯一确定初值和源项，这与次扩散和正常扩散的结果大不相同。同时我们还取得了如下一些重要成果：（1）用边界额外测量数据可以唯一同时反演两个初始数据，为此构建了迭代Tikhonov正则化方法及有限维逼近算法对初值进行反演；（2）利用边界非齐次Cauchy数据，我们证明了仅依赖空间变量的反应项系数辨识的唯一性，给出了易于验证的充分条件;（3）研究了分数阶扩散波方程的阶数与空间源项同时辨识问题，给出了一定条件下，用终端数据同时反演阶数与空间源项的唯一性，并给出了有效算法；（4）对时间分数阶扩散波方程的多参数同时反演问题，如阶数与扩散系数同时反演、阶数与源项和初值同时反演等，根据反谱理论和解析延拓方法，证明了反问题的唯一性，利用Bayes统计方法数值上很好地求解了多参数同时辨识问题；（5）针对时间分数阶导数，我们给出了两种分数阶导数的分部积分公式，为用梯度型迭代方法求解各种分数阶扩散波方程反问题奠定了基础。. 在2018-2021年度，我们已发表有标注本项目资助的SCI论文23篇，其中一区4篇、二区12篇。另有2篇论文将于2022年发表，还有5篇论文在审稿中。.项目负责人在项目执行期间有3名博士和10名硕士研究生顺利毕业，四年期间，项目组成员出国（出境）5人次，参加国际学术会议10人次，参加国内学术会议和学术访问28人次，做学术报告36人次，1人去澳大利亚国立大学访学1年。 我们组织了2019年反问题及成像学术会议一次，会议规模达到180人。课题组负责人于2020年当选为中国数学会理事。