几类双曲型偏微分方程耦合系统的边界同步控制问题

This project intends to study the boundary synchronization for the coupled system of hyperbolic PDEs. To start from a coupled system of wave equations with coupled Robin boundary controls, this project engages on its exact boundary synchronization and approximate boundary synchronization. Compact perturbation method will be applied to solve the first problem, and the observability of the adjoint system will be studied to serve as a means for the research of the second problem. Furthermore, we plan to investigate the exact boundary synchronization for the first-order linear hyperbolic system. However, due to the lack of regularity of the solution, as well as the boundary conditions become much more complicated, we have to confront more difficulties in Robin control case and in first-order hyperbolic system case than in Dirichlet control case and Neumann control case. This project aims to complete the systematic theoretical study of controllability and synchronization for hyperbolic system, and is also of great significance in practical applications in real world.

本项目拟研究双曲型偏微分方程耦合系统的边界同步控制问题。首先，将考察具耦合Robin边界控制的波动方程耦合系统，拟使用紧扰动的方法研究系统的精确边界同步控制问题，并通过研究伴随系统的能观性来讨论系统的逼近边界同步控制问题。另一方面，拟在弱解的框架下考察一阶线性双曲系统的精确边界同步控制问题，寻找适当的能控空间以建立系统的精确边界能控性，在此基础上重新定义并研究一阶双曲系统的精确边界同步性，期望将波动方程耦合系统同步问题研究中的所得结论推广到一阶双曲系统。由于解的正则性降低和边界条件的复杂性，Robin控制的情形以及一阶双曲系统的情形将会遇到比Dirichlet控制情形和Neumann控制情形更大的困难。本课题的研究将为建立一套完整的双曲系统同步能控性的处理框架提供重要的支撑，在理论及实际应用方面都有重要的意义。

同步是自然界和人类社会中广泛存在的一种现象， 2012年李大潜院士及饶伯鹏教授开创性地研究了偏微分方程耦合系统的同步问题，用控制理论研究同步成为一个新的视角。到目前为止对具Dirichlet和Neumann边界控制的波动方程耦合系统的同步问题研究已经得到了相对完整的结果。根据物理上的不同要求，需要继续深入研究具不同形式的系统，例如具Robin边界控制的波动方程耦合系统。而由于一阶双曲系统所包含的内容比波动方程更加广泛和丰富，研究一阶双曲系统的同步问题被视为一件必要且具有挑战性的工作，至今为止尚没有人系统地做过这方面的研究。 .本项目基于对波动方程耦合系统已有的研究成果，首先深入研究了具Robin边界控制的波动方程耦合系统的精确边界同步问题，将波动方程同步问题的研究进行扩充和完善，接着将这些结果进一步推广到一阶双曲系统中，考察了一阶线性双曲系统的精确边界同步问题，建立起一套相对完整的一阶线性双曲系统精确边界同步问题的处理框架，并应用这个理论框架建立了一类带速度耦合项的波动方程耦合系统的精确边界同步能控性。此外，项目还研究了一阶线性双曲系统的精确内部同步问题，及一阶双曲系统的逼近边界同步问题的部分内容。.项目研究中使用的紧性创新性方法具有普遍性，可以运用到其它方程的更多问题中，是非常有力的研究工具。研究建立起的一阶线性双曲系统精确边界同步问题的处理框架具有广泛的应用价值，可用于多种类型双曲系统精确边界同步能控性的建立，也有助于推动波动方程耦合系统的研究。一阶双曲系统精确内部同步及逼近边界同步问题的研究也大大丰富了一阶双曲系统同步问题的研究，为实际生活生产中的应用提供了更多的解决方法和对应的理论基础。这些结果均为进一步考察拟线性双曲系统的同步问题提供了依据。