分数阶扩散方程反问题的计算方法及理论研究

In this project, we will study deeply and widely some inverse problems for time fractional diffusion equations in an irregular bounded domain, including the backward problem, the inverse source problem, the non-characteristic Cauchy problem, Robin coefficient identification problem, dffusion coefficient identification problem for time fractional diffusion equations. The fractional diffusion equations have wide application backgrounds on the seepage water in rock and soil, the oil-extraction in geological prospecting, the migration of nuclear material or contaminants in strata, the release of medicine drugs in the polymer matrix. The study of inverse problems for the fractionl diffusion equations is new topic. In this project, we will investigate exploringly those inverse problems for fractional diffusion equations on both of mathematcial theory and computational methods. Based on the mathematcial analysis of ill-posedness and conditional stability, we will provide and employ some regulariation methods, such as Tikhonov regularization, spectral truncation method, quasi-reversibility regularization, quasi-boundary value method, iteration regularization methods, etc. We try to find the suitable a priori and a posterior regualrization parameters from the convergence estimates and numerical experiments. The numerical simulations are the key points in our project. We will figure out some efficient methods with high accuracy and high stability and provide some basic knowledges and methods for practical applications.

本项目将对一般有界区域上的时间分数阶扩散方程的反问题展开系统和深入的研究，内容包括时间分数阶扩散方程的反初值问题、源项辨识问题、非特征柯西问题、Robin系数反演问题、扩散系数辨识问题等。分数阶扩散方程在岩石工程中的渗流、地质勘探中的采油、核物质或污染物在地层中的迁移、医学中药物在高分子基质中的释放等方面有广泛的应用背景，其反问题的研究是一新兴课题。本项目中，我们将对上述分数阶扩散方程反问题的理论及计算方法做探索性研究，通过对问题不适定性的分析和条件稳定性的建立, 有针对性地提出和应用一些正则化方法如Tikhonov正则化、谱截断方法、拟逆方法、拟边值正则化方法、迭代正则化法等求解上述问题，在收敛性分析和数值实验的基础上找到合适的先验和后验正则化参数选取规则并进行收敛阶分析，对各种算例进行数值模拟，找到可以实际应用的高精度、高效稳定的算法，为实际应用提供理论与方法上的基础。

本项目对一般有界区域上的时间分数阶扩散方程的反问题展开系统和深入的研究，内容包括时间分数阶扩散方程的反初值问题、源项辨识问题、非特征柯西问题、Robin系数反演问题、扩散系数辨识、零阶项系数辨识问题等。分数阶扩散方程在岩石工程中的渗流、地质勘探中的采油、核物质或污染物在地层中的迁移、医学中药物在高分子基质中的释放等方面有广泛的应用背景，其反问题的研究是一新兴课题。本项目中，我们对上述分数阶扩散方程反问题的唯一性理论及计算方法做了系统研究，通过对反问题的唯一性证明、问题不适定性的分析和条件稳定性的建立, 有针对性地提出和应用一些正则化方法如Tikhonov正则化、谱截断方法、拟逆方法、拟边值正则化方法、共轭梯度正则化法等求解上述问题，在收敛性分析和数值实验的基础上找到合适的先验和后验正则化参数选取规则并进行收敛阶分析，对各种算例进行数值模拟。特别，针对分数阶扩散方程反问题，我们系统研究了一般共轭梯度法，给出了合适的分部积分公式，在此基础上导出了各种反问题的共轭问题，并得到了共轭梯度法的迭代算法，对时间分数阶扩散方程的反初值问题、源项辨识问题（包括时间或空间源项问题）、Robin系数反演问题、扩散系数辨识、零阶项系数辨识问题等作了数值模拟，验证了算法的有效性。. 项目执行期间我们共发表了15篇SCI文章，其中一区3篇、二区9篇，还有10篇论文在投稿中。项目负责人在项目执行期间有4名博士研究生和8名硕士研究生顺利毕业，目前项目负责人仍有在读博士生3人，硕士生7人。四年期间，项目组成员出国（出境）访问6人次，参加国际学术会议19人次，其中大会邀请报告3人次，参加国内学术会议和访问27人次。另外，我们也邀请了国内外高水平的学者来访15人次。课题组负责人于2016年当选为中国工业与应用数学学会常务理事。. 总之，项目进展比较顺利，完成了项目预期目标，特别是在本基金的支持下，我们对分数阶扩散方程反问题的研究内容有了更深入地了解，同时也将项目作了自然延伸, 对多项时间分数阶扩散方程的反系数问题,如零阶项系数、对流系数问题，给出了唯一性定理,并应用共轭梯度法或最佳扰动量方法进行了数值模拟；对分数阶扩散波方程的反初值和源项辨识问题作了初步研究，这些成果在审稿中。自然延伸的研究内容为我们下一个项目的开展奠定了良好的基础。