拟线性椭圆方程的多解及其性态

In this project, we will study the existence of multiple solutions and some properties of the solutions for a class of quasilinear elliptic problems and a class of nonlinear elliptic problems with nonlocal terms, which include the general quasilinear Schrodinger equations from theoretical physics and general Kirchhoff type equations from the free vibration of elastic strings. We will try to obtain the existence of positive soliton solutions for general quasilinear Schrodinger equations with critical growth and without (AR) conditions. Some uniqueness profiles for the positive solutions and k-node solutions will be discussed. Moreover, we will also try to prove the existence of positive solutions and sign-changing solutions for general Kirchhoff type equations. Our research is very important since it involves not only the theories in partial differential equations and nonlinear analysis, but also some applications areas such as theoretical physics and elastic mechanics.

本项目将对一类拟线性椭圆问题和一类带非局部项的非线性椭圆问题的多解存在性及其相关性态展开系统的研究；所研究的椭圆问题包括源于理论物理的拟线性Schrodinger方程和源于弹性力学的Kirchhoff型方程。我们将借助于适当的变量替换和L.Jeanjean建立的泛函框架，证明一类不带(AR)条件，且带临界增长的拟线性椭圆方程的正解和无穷多变号解的存在性；同时，我们还将利用传统的平移平面法和打靶法，并借助于计算机实验来讨论一类特殊的拟线性椭圆问题正解的唯一性和k-波节解的唯一性；对带非局部项的非线性椭圆问题，我们将在较弱的条件下证明其正解和变号解的存在性。我们的研究不仅涉及到偏微分方程基本理论、非线性分析等重要的数学理论分支，同时也涉及到理论物理、弹性力学等应用领域。因此，本项目的研究是十分有意义的。

借助于泛函的方向导数和约束变分方法，证明了带对数项的Schrodinger方程正解和变号解的存在性；结合变量替换和单调方法，对含临界指标和低幂扰动的拟线性Schrodinger方程，证明了其基态解的存在性；对于gauged Schrödinger方程，证明了其k-node解的存在性，且k-node解对应的能量关于k是严格单调增加的；对含临界增长且缺乏单调性条件的拟线性Schrodinger方程，得到了其无穷多解的存在性。借助于Pohozaev流行方法和对称递减重排技巧，证明了三维空间中Choquard系统正的基态解的存在性；在方程中非线性函数和位势函数满足较弱的条件下，证明了分数阶Kirchhoff方程存在极小能量解；对于含参数ε的Kirchhoff方程，得到了其一族正解u_ε,且当ε→0+时,对这族正解的集中现象进行了刻画；证明了一类带分数阶Laplace算子的半线性椭圆方程存在一个正解，一个负解和一个变号解。证明了带吸引位势的波色-爱因斯坦凝聚态(Bose-Einstein Condensates)穿过平面障碍物的基态解的存在性,运用Pohozaev恒等式以及精细的能量估计，我们得到了基态解的极限行为。研究了一个三维球形发动机方程的正问题和反问题的数值方法，证明了正问题全离散数值格式的稳定性，重构了方程中的磁扩散系数，并证明了反问题数值方法的收敛性。