拟线性椭圆型方程的多解研究

Quasilinear elliptic equations have great research value, because they have many applications in physics, mechanics, biology, chemistry, etc. In this project, we will apply variational methods and critical point theory, together with various theoretical methods and analytical techniques in nonlinear analysis, to study the existence, multiplicity and properties of nontrivial solutions to a class of quasilinear elliptic equation. More precisely, we will study the following problems. (1) When the potential and the nonlinearity satisfy general conditions, study the existence of multiple solutions to a special quasilinear elliptic equation, particularly existence of multiple sign-changing solutions; (2) Under similar conditions, study the existence and properties of semiclassical solutions to corresponding singularly perturbed problem; (3) For general quasilinear elliptic equations, study the existence and multiplicity of nontrivial solutions, and establish a uniform variational framework. The research on these important problems will reveal the essential characteristics of quasilinear elliptic equations, enrich and improve the relevant theories in the field of nonlinear analysis, and promote the application of mathematics in other disciplines.

拟线性椭圆型方程在物理学、力学、生物学和化学等领域有着广泛的应用，具有重要的研究价值。本项目拟应用变分方法与临界点理论，并结合非线性分析中的各种理论方法和分析技巧，来研究一类拟线性椭圆型方程的可解性、多解性以及解的性质等重要问题。具体来讲，拟研究如下问题：（1）当位势函数和非线性项满足一般的条件时，探讨一类特殊的拟线性椭圆型方程多个非平凡解的存在性，尤其是多个变号解的存在性；（2）在类似的条件下，研究相应的奇异扰动问题，探讨半经典解的存在性以及解的分析、几何和拓扑性质；（3）对一般的拟线性椭圆型方程，探讨其可解性和多解性问题，建立统一的变分框架。对这些重要问题的研究，将有助于揭示拟线性椭圆型方程的本质特征，丰富和完善非线性分析领域的相关理论，促进数学在其它学科中的应用。

椭圆型偏微分方程（组）在物理学、力学、生物学和化学等领域有着广泛的应用，具有重要的研究价值。本项目应用变分方法，并结合扰动方法、分歧理论和非光滑临界点理论，研究了几类椭圆型偏微分方程（组）的可解性、多解性以及解的性质等重要问题。我们主要在如下方面取得重要进展：（1）研究了拟线性薛定谔方程，应用单调性技巧、扰动方法和非光滑临界点理论，获得了正解的存在性、多解的存在性以及多个变号解的存在性等结果；（2）研究了临界薛定谔方程组，证明了高能量解的存在性，将V. Benci和G. Cerami的结果推广到方程组的情形，进一步研究了具有线性耦合项与非线性耦合项的薛定谔方程组、耦合Hartree方程组；（3）研究了非局部椭圆型方程，分别考虑了质量次临界、质量临界和质量超临界的情形，获得了正规化解的存在性、对称性、轨道稳定性和不稳定性等结果；研究了分数阶薛定谔-泊松方程组，分别考虑了非线性项具有次临界增长和临界增长的情形，应用Nehari流形和集中紧性原理，证明了基态解的存在性；（4）研究了变指数椭圆型方程，证明了无穷多个小解和无穷多个大解的存在性。对这些重要问题的研究，将有助于揭示椭圆型方程（组）的本质特征，丰富和完善非线性分析领域的相关理论，促进数学在其它学科中的应用。