拟线性椭圆方程（组）无穷多解的存在性及相关问题研究

The main purpose of this project is to study the existence of infinitely many solutions of quasilinear elliptic equations and systems by variational method, especially by the critical points theory. Mainly involves three kinds of problems: one is the existence of infinitely many solutions for modified nonlinear Schrödinger equations with indefinite nonlinearity on a bounded domain，this kind of equations have formally variational formulations and it is difficult to verify the compact condition； another is infinitely many solutions for p-Laplacian equations with finite potential in the half-space and the whole space, working space is Banach space and we have no information on the Morse index, therefore we need to find new approaches to obtain infinitely many solutions；the last is the existence of infinitely many sign-changing solutions for the system of p-Laplacian equations in the whole space, we try to introduce new ideas on the basis of the existing methods to solve this problem.

本项目将利用变分方法特别是临界点理论讨论拟线性椭圆方程(组)无穷多解的存在性. 主要涉及三类问题：一类是有界区域上修正的非线性Schrödinger方程, 考虑带不定非线性项情形的无穷多解， 这类方程只有形式上的变分结构, 另外带不定非线性项很难验证紧性条件；另一类是半空间及全空间上带有限位势次临界和临界增长p-Laplace方程的无穷多解，工作空间是Banach空间，没有合适的Morse理论，要想获得多解需要寻求新的解决办法；最后一类是全空间上带有限位势p-Laplace方程组的无穷多变号解，需要在已有研究方法的基础上探索新思路.

本项目基本是按任务书所确定的研究内容进行研究的. (1)利用扰动方法和对称山路引理获得了带不定非线性项的拟线性椭圆方程的无穷多解; (2)改进了解决拟线性问题的扰动方法，提出了新的梯度截断技巧，并应用于全空间上半经典拟线性Schrödinger方程获得无穷多变号解的存在性；(3)利用椭圆正则化方法考虑了带拟线性扰动的椭圆方程无穷多非平凡解的存在性；(4)利用截断方法和对近似解的紧性分析得到了有界区域上带临界指标p-Laplace方程组无穷多变号解的存在性； (5)利用Wolff位势对半空间上带临界指数p-Laplace()方程的解做了估计，证明最佳衰减常数为； (6)利用扰动方法和我们改进的多重变号临界点定理，获得了上非线性Schrödinger方程组无穷多变号解的存在性. 除了完成项目计划内容，项目还研究了非局部问题，利用Nehari流形的方法证明了有界区域上Kirchhoff型拟线性椭圆方程变号基态解和不变号基态解的存在性；利用移动平面法证明分数阶Hartree方程正解的对称性和单调性..项目组完满地完成了预期的研究任务， 取得了一些重要的原创性研究成果，这些研究成果大多数发表在国际水平的杂志上. 项目计划完成学术论文6至8篇，.实际完成14篇. 特别，项目负责人作为第一完成人，完成的成果“非线性椭圆方程变分方法研究的若干新进展”于2020年获云南省自然科学奖一等奖.