基于罚函数方法的HJB广义互补问题研究

Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) Generalized complementarity problems are a kind of very complicated complementarity problems with special structures. These problems are very new, broad and useful both in theory and application. In fact, many complementarity problems and equilibrium problems are their special cases. As the existing theory and algorithms can not be directly and effectively applied to these problems, this project aims to develop the new theory and algorithms to overcome this difficulty, based on the nonsmooth optimization, nonlinear equation and semi-infinite programming theory. This study will investigate three types of HJB generalized complementarity problems by proceeding with the penalty approach. The content of this project includes four parts: 1. Applying the penalty approach to the theoretical analysis of the solution to the HJB generalized complementarity problems with finite control set, and then design the penalty-based algorithms and study their complexity and convergence; 2. Applying the penalty approach and semi-infinite programming method to the theoretical analysis of the solution to the HJB generalized complementarity problems with infinite control set, and then design the penalty-based algorithms and study their complexity and convergence; 3.Applying the penalty approach and the semi-infinite complementarity theory to the theoretical analysis of the solution to the HJB semi-infinite generalized complementarity problems with infinite control set, and then design the penalty-based algorithms and study their complexity and convergence; 4. Testing the effectiveness of the new methods by applying the above results to financial derivatives pricing problems. This study will contribute some new findings to the cutting edge of optimization theory and its applications, meanwhile provide important insights in solving practical problems arising from finance.

HJB广义互补问题是一类结构复杂的互补问题，其内容新、涵盖面广、理论与应用丰富，诸多互补与博弈问题是其特例。现有的互补问题理论和算法并不能直接、有效的处理这类问题。本项目拟采用非光滑优化、非线性方程和半无限规划理论，以互补问题的罚逼近为切入口，逐步展开三类HJB广义互补问题的研究。包括：1.应用罚逼近方法研究带有限控制集的HJB广义互补问题解的性质，设计基于罚方法的优化算法，分析其复杂性和收敛性；2.应用罚逼近和半无限规划理论研究带无限控制集的HJB广义互补问题解的性质，设计求解算法，分析其复杂性和收敛性；3.应用罚逼近和半无限互补理论研究带无限控制集的HJB半无限广义互补问题解的性质，设计求解算法，分析其复杂性和收敛性；4.将1至3的结果应用到金融衍生产品定价问题中，验证方法的有效性。本项目的研究既可为优化理论与算法增添新的知识，又可为金融实践问题的解决提供重要参考。

本项目主要研究了应用低阶罚方法对HJB广义互补问题进行理论分析，并建立基于罚方法的数值优化算法。主要的研究内容包括：1）基于罚方法研究了带有限控制集的离散HJB方程的解的性质与求解算法；2）基于罚方法研究了带无限控制集的离散HJB方程的解的性质与求解算法；3）基于罚方法研究了带无限控制集的离散HJB互补问题的解的性质与求解算法；4）运用1）、2）和3）中建立起的理论与算法，应用于金融和工程中的HJB广义互补问题求解。本项目取得重要的研究成果主要包括：1）建立了带有限控制集和无限控制集的离散HJB方程和带无限控制控制集的HJB互补问题的四类低阶罚逼近方程，分别确立了罚问题的解的存在性、唯一性和有界性，打开了应用低阶罚方法分析带有限控制集的离散HJB方程的新思路；2）确立了应用低阶罚方法近似求解带无限控制集的离散HJB方程的收敛性和误差界，并证明了低阶罚逼近的指数级收敛阶。从理论上证明了了低阶罚方法的优越性；3）设计了基于低阶罚方法的求解三类HJB广义互补问题的四类数值优化算法，并通过与经典算法进行了数值比较，多方面验证了新算法的有效性；4）将新算法成功的运用到金融优化中最优投资模型的HJB方程进行求解、美式蝶式期权定价以及工程中的接触边界问题，数值验证了新方法在金融优化和工程优化中的适用性；5）将项目组的罚方法思维推广应用到了拟凸优化、非凸非光滑优化以及多目标规划等优化问题之中。