无罚函数方法的新研究及其在约束优化问题中的应用

随着科学技术的进步与发展，非线性约束优化问题几乎触及社会生活的各个方面，对其解的研究显得尤为重要。在各类解法中，出现了一类以滤子方法为代表的无需罚函数的方法，这类方法因不用选取罚因子，故而避免了因选法不当造成的数值困难。由于其良好的数值结果，近年来该类方法得到了广泛关注。本项目旨在对这类方法进行理论和算法的深入研究，内容包括：首先在目标函数和约束违反度函数所在的二维平面中研究新的非单调策略，结合过滤技术，给出非单调的滤子方法，通过大量数值实验得到合理的非单调程度，并讨论算法的收敛性质。其次借鉴NCP函数修正滤子点对的结构，同时构造三维滤子点对，引入参数信息，讨论参数更新，并给出数值实验。第三，研究无需过滤技术的新的无罚函数方法，结合非单调技巧，线搜索技术等给出行之有效的算法，并分析其相关理论性质。最后将这类算法应用到非线性互补问题以及非线性方程之中，为算法在实际领域中的运用提供有力保证。

近年来，随着科学技术的进步与发展，在资源利用、工程技术、工程设计、经济规划、调度管理、交通运输、社会结构、国防安全等方面涉及了许多非线性规划问题，并且其优化模型变的越来越复杂。因此研究高效的优化计算方法，尤其是约束非线性规划的计算方法具有很大的应用前景以及重要的科学意义。在众多求解约束优化问题的迭代型方法中，序列二次规划因其良好的收敛效果备受追捧，但为避免其解法对初始点的依赖性，通常会引入罚函数。但是选择一个合适的罚因子是很困难的，太大或太小均会造成算法不收敛或不可行，于是滤子算法应运而生，其避免了罚因子的选取，一定程度上缓解了Maratos效应，并对大量的实际问题有很好的数值结果。滤子型算法的出现，引起了国内外学术界的广泛关注，成为应用数学和运筹学理论中较为活跃的研究领域之一。它的研究主要集中在算法设计、算法收敛性分析、参数研究、程序实现以及数值分析上。由于这类算法可以更高效的得到数值结果，在理论上对该类算法进行进一步的分析和改进，并能够舍弃传统的滤子机制，给出一类新的无罚无滤子的方法以及研究其在非线性互补问题和广义非线性互补问题中的应用，是一项具有理论和现实意义的工作。.本项目借助非线性分析和最优化的理论和方法，利用矩阵理论、集合理论、非单调方法、试探步分解技术、对偶理论和计算机编程语言等工具，提出了几类不同的无罚函数方法，包括非单调方法，改进无罚无滤子方法，积极集方法以及无序列二次规划方法等，并对这几类迭代方法的收敛性质和在非线性互补问题中的应用进行了分析和比较。得到了新的非单调技术，从而给出了非单调滤子方法以及非单调无罚函数方法；改造了滤子点对，引入了NCP函数的信息；引入参数，给出了带参数的滤子方法；研究新的无罚无滤子的单调型和非单调型方法；提出了求解非线性互补问题的无罚函数方法，并对广义非线性互补问题做了相应研究；利用积极集理论，给出了积极集滤子方法，并对这些算法进行了数值实验和比较。.本项目的研究工作，丰富了最优化理论，尤其是无罚函数理论的研究成果。到目前为止，本项目共计发表论文26篇，其中10篇已被SCI、EI和ISTP检索。研究成果除了具有重要的学术价值外，还将在管理学、经济学、控制论等许多领域理论和应用研究中起到重要的参考价值和借鉴作用。从整体上看，本项目圆满地完成了所承担的任务，并为进一步开展深入的研究，打下了坚实的基础。