随机Helmholtz型问题的数值方法

The theoretical and computational results of deterministic Helmholtz problems have important applications in many fields of science and technology, such as geophysical exploration, non-destructive testing, radar and sonar and other defense technology, etc. In this project, we shall be concerned with several stochastic Helmholtz-type problems based on multilevel Mento-carlo and sparse grid techniques, which are of more practical significance and have received wide attentions recently in literature. Specifically, the following results will be derived: (1) For the interior Helmholtz problem with stochastic wavenumber, we shall adopt multilevel Mento-carlo method, which allows us to have the same overall convergence as the Mento-carlo method on the finest grid, but the computational costs are only a fraction of the latter. (2) For the grating problems with stochastic interface of small pertubation, based on the shape-Taylor expansion and pertubation theory, we shall quantify the mean field and the variance of the stochastic solution in terms of certain orders of the pertubation amplitude. (3) For the exterior Helmholtz problem with stochastic boundary of large pertubation, we shall adopt perfectly matched layer for the spatial domain, and derive the coordinate transformation with respect to the stochastic boudary and adopt sparse grid method in stochastic domain, which shrinks the degree of freedom and accelerates the computation. The theoretical and computational results achieved in this project will deepen our knowledge about corresponding phenomena, and also have significant practical impacts.

确定性Helmholtz问题的理论与计算方法已广泛应用于地质勘探,军事科学等诸多科学技术领域，但对于更具有实际意义的随机Helmholtz型问题还有待进一步研究。我们拟基于多级蒙特卡洛和稀疏网格等方法,研究几种不同随机Helmholtz型问题的快速数值算法。主要包括：（1）对于带随机系数（即随机波数）的Helmholtz内问题，采用多级蒙特卡洛方法，使得蒙特卡洛方法的分级样本数与最细空间剖分相匹配，从而减少计算所需样本量。（2）对于交界面带随机小扰动的光栅问题，采用形状泰勒展开和摄动分析的原理，研究随机问题解与数值解之间期望，方差等统计量相应的误差（依赖于振幅）。（3）对于边界带随机大扰动的Helmholtz外问题，对物理空间采用完全匹配层方法截断,对随机边界采用坐标变换和稀疏网格方法，减少自由度，从而加速求解过程。这些研究将加深人们对相关现象的认识，有着重要的理论和实用价值。

确定性Helmholtz问题的理论与计算方法已广泛应用于地质勘探,军事科学等诸多科学技术领域，本项目主要利用多级蒙特卡洛和多级展开等方法， 研究了对于更具有实际意义的随机Helmholtz型问题。通过本项目的研究，我们项目组成员、合作者以及参与研究工作的研究生等都在一定程度上取得了不同的收获,。在学术研究方面，我们主要完成了三部分工作：(1) 针对带随机系数的椭圆型问题和随机系数Brinkman问题，我们利用Levy跳高效的模拟了两种不同的介质，将多重蒙特卡罗和空间弱有限元离散相结合。该方法在最佳收敛阶的情况下，粗网格取得样本多，细网格取得样本少，从而大大的减少了整体的计算量。(2) 针对交界面带随机小扰动的光栅问题和3维带随机小扰动的Maxwell问题，我们在理论上证明，并在数值上验证了，带随机交界面问题的期望与确定性问题之间的误差为O(delta^2)，方差的误差为O(delta^3)。(3) 针对所满足的SPDE控制优化问题，我们利用多级展开给出了随机解得一般展开形式，从而递进的提出了三种数值方法。这些研究将加深人们对相关现象的认识，有着重要的理论和实用价值。在人才培养方面，这期间我们共培养毕业了4名博士研究生，9名硕士研究生，目前正在学习的研究生包括博士研究生3人，硕士研究生6人。通过项目的资助，项目组成员和相关合作者及研究生多次参加了国内的学术会议，开阔的学术视野，提高了学术水平，推动了这一领域学术研究的进展。