Lipschitz映射的可微性和稳定性研究

This project belongs to the research of functional analysis, convex analysis, nonsmooth analysis and nonlinear analysis. Based on the methods in functional analysis and nonlinear analysis, we will investigate the differentiability and stability of Lipschitz mappings in Banach spaces. Combined with the existence and continuity of Frechet derivative we want to solve or partly solve the important problems in the following fields: (1) the differentiability of Lipschitz mappings in Banach spaces; (2) the problem about the product of GDS in convex analysis; (3) the stability of nosurjective ε-isometries in Banach spaces; (4)the stability of Lipschitz mappings in Banach spaces. In a word, this project will improve and enrich the theory and technical methods in functional analysis and nonlinear analysis in Banach spaces.

本项目属泛函分析、凸分析、非光滑分析和几何非线性泛函分析的范畴，旨在推动发展和综合运用泛函分析、无穷维非线性分析的思想理论和技术方法，以无穷维空间上Lipschitz映射的可微性和稳定性研究为主线，通过Lipschitz映射的Frechet可微性及其导数连续性，结合ε-等距的研究方法探讨解决或部分解决下列领域的重要问题：（1）无穷维空间上Lipschitz映射的可微性；（2）凸分析中的GDS乘积问题；（3）无穷维空间上非满ε-等距的稳定性问题；（4）无穷维空间上Lipschitz映射的稳定性问题.

本项目的研究紧紧围绕着“Lipschitz 映射的可微性和稳定性研究”展开，主要的研究成果为发表在诸如Studia Mathematica、SCIENCE CHINA Mathematics 等杂志的7篇学术论文，成果内容包括一类特殊的逼近Lipschitz映射（也称epsilon-等距）的稳定性和弱稳定性公式及其应用，非紧性测度理论、赋范半群表示等方面的应用。最具代表性的研究成果为 1）利用Lipschitz 映射可微性的研究思想，给出了epsilon-等距的稳定性和弱稳定性公式，这是本领域研究中不可缺少的工具；2）给出了非紧性测度理论的泛函分析框架和表示，证明了“每个无穷维BANACH空间都存在着不等价的非紧性测度”，该结果完全解决了1978年提出的一个公开问题。总共有8位博士生，7位硕士生参与了本课题的研究。