带跳非耦合正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson数值解法研究

In this project, we will study the Crank-Nicolson-type numerical methods for solving the decoupled forward backward stochastic differential equations (short for FBSDEs) with jumps: from Malliavin stochastic analysis for Brownian motion, combining the numerical methods for solving the forward stochastic differential equations, using the relationship between FBSDEs and PDEs, we will obtain the stability，convergence and error estimates of the Crank-Nicolson scheme for solving the decoupled FBSDEs; we will propose the Crank-Nicolson scheme for solving the decoupled FBSDEs with jumps, then using the Malliavin stochastic analysis for Lévy processes we will obtain the stability, convergence and error estimates of the Crank-Nicolson numerical methods for solving the decoupled FBSDEs with jumps; Finally, we will apply the proposed methods to the simulation and computation of some important financial models.

本项目拟研究带跳非耦合正倒向随机微分方程(简称FBSDEs) 的Crank-Nicolson类型数值解法: 通过布朗运动的Malliavin随机分析，结合求解正向随机微分方程数值方法，利用FBSDEs解和偏微分方程解的关系，得到求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式的稳定性、收敛性和理论误差估计；提出求解带跳非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式，并通过Lévy过程的Malliavin随机分析和带跳正向随机微分方程数值方法，对其稳定性、收敛性和理论误差估计进行严格的分析；应用所提方法于一些重要的金融模型的模拟和计算。

为了促进带跳非耦合正倒向随机微分方程 (简称FBSDEs)的高效、高精度计算方法在金融、随机控制、物理、化学等领域中的应用，本项目研究了带跳非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson数值解法: 一方面我们得到了求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式的稳定性、收敛性和理论误差估计；另一方面我们提出了求解带跳非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson修正二阶Crank-Nicolson格式，并通过Lévy过程的Malliavin随机分析，对其稳定性、收敛性和理论误差估计进行了严格的分析。最后我们应用所提方法于一些重要的金融模型的模拟和计算。