分拆恒等式及其在q级数和对称函数中的应用

整数分拆理论是组合数学中的一个重要研究方向，主要包括整数分拆恒等式，分拆函数同余关系及近似计算等方面的内容。近几十年来，随着整数分拆理论在其他学科广泛应用，使得对整数分拆理论的研究，特别是对分拆恒等式的研究成为组合数学界一个非常热点的课题，得到了包括多位美国科学院院士在内的世界知名学者的关注和重视。.在本项目中，我们主要集中研究与q级数和对称函数有密切关系的四类分拆恒等式,利用分拆恒等式与q级数和对称函数间的联系，通过研究这几类分拆恒等式，来研究q级数与对称函数。这也十分符合当前的研究趋势。在美国"二十一世纪数学的挑战"大型研讨会上，"代数学中的组合方法"就被列入纯数学中最具挑战性的方向之一。.通过该项目的实施，我们希望不仅能够丰富整数分拆理论，而且还可以促进q级数与对称函数的发展，特别是关于对称函数中经典映射RSK算法。

本项目重点研究与q-级数和对称函数相关的几类分拆恒等式，取得了一些重要的研究成果。我们第一个成果是通过组合构造的方法得到了与Dyson秩有关的分拆恒等式，利用该等式成功地解决了美国科学院院士，美国前任数学会会长G.E. Andrews在《数学发明》（Inventiones Mathematicae）提出的公开问题；第二个成果是给出了推广带hook分拆恒等式的一般方法。借用该方法，我们得到 了Andrei Okounkov (2006年菲尔兹奖得主)的带hook分拆恒等式的推广。第三个成果是建立了三阶仿theta函数与整数分拆的关系，借此用组合的方法证明了印度天才数学家拉马努金关于三阶仿theta函数恒等式。此外，我们在部分theta函数与overpartition方面也取得一些成果。