分数阶系统稳定性理论及其在控制器设计中的应用

Fractional order systems have received increasing attention in many science and engineering areas. Stability theory and controller design for fractional order control systems are most important subjects in this field. This project investigates new methodology for fractional order systems and control by innovative research over existing stability theory, in view of the objective development of control systems science. The project studies Routh-type test for linear time invariant fractional order systems for the first time, as well as develops Lyapunov methods for general fractional order systems in the frame of state space equation (rather than pseudo state space equation). Furthermore, controller design will be studied based on the derived new stability theory. Meanwhile, the effectiveness of the proposed methods and controllers will be illustrated by building platform systems with fractional order plants and making both numerical and physical experiments. The results of this project are expected to fill the gap in current stability theory of fractional order systems, improve existing theories further, obtain practically valuable control methods, and open up a new situation for fractional order systems and control.

分数阶系统在众多科学与工程问题中得到越来越多的关注，其稳定性理论及控制器设计一直是该领域最热门的研究课题。本项目将把握系统控制科学的发展规律，从突破稳定性一般理论出发，探索分数阶系统控制研究的新途径。首次研究线性定常分数阶系统的劳斯型判据，基于状态空间方程（而非伪状态空间方程）开创性地研究一般分数阶系统的李雅普诺夫方法。进一步，运用这些更具一般性的稳定性理论与方法，研究控制器设计问题，以期得到系统性的控制器设计方法。同时，通过设计、开发具有分数阶特性的物理实验系统和数值仿真平台，对所给出的控制器设计方法进行验证。该项目的研究成果将填补分数阶系统稳定性理论中的空白，弥补现有理论的不足，得到一系列有实用价值的控制器设计方法，开创分数阶系统控制研究与应用的新局面。

分数阶系统在众多科学与工程问题中得到越来越多的关注，其稳定性理论及控制器设计一直是该领域最热门的研究课题。对于连续分数阶系统，本项目一方面给出了线性同元次分数阶系统的劳斯型判据，揭示了分数阶多项式根与系数的关系；另一方面基于分数阶系统的频率分布模型，证明了线性定常分数阶系统的逆李雅普诺夫定理，并给出了分数阶系统的间接李雅普诺夫方法，构建了非线性分数阶系统和对应的整数阶系统的稳定性关系。对于离散分数阶系统，本项目一方面给出了基于伪状态空间模型的直接李雅普诺夫方法，并构建了联系李雅普诺夫泛函和系统方程的若干重要不等式；另一方面提出了离散分数阶系统的频率分布模型，并基于此模型给出了离散分数阶系统的间接李雅普诺夫方法。所提的稳定性理论极大地方便了分数阶系统稳定性分析和控制器设计。在此基础上，本项目探究了若干分数阶控制器的一般设计方法，具体包括分数阶模型参考自适应控制器，分数阶滑模控制器，分数阶反步控制器，分数阶鲁棒控制器等。基于频率分布模型，本项目通过极小化逼近系统的频率响应和实际分数阶系统频率响应的误差，给出了高效的分数阶系统的逼近算法，并解决了初值分配问题，最后在MATLAB中进行封装，极大地方便了分数阶系统的仿真。最后本项目搭建了分数阶电路和热传导平台，验证了其分数阶特性，并完善了已有的柔性梁系统和隔振平台，为以后的实验研究奠定了平台基础。此外，本项目研究了分数阶系统区别于整数阶系统的关键问题——“初值问题”，指出了分数阶系统独有的“越轨现象”，从历史函数估计和真实状态估计两个角度出发，有效解决了分数阶系统的“初值问题”。本项目的顺利完成，极大地完善了分数阶系统稳定性分析和控制器设计的理论框架，并对分数阶系统“初值问题”进行了较为系统的研究，为实际工程应用奠定了坚实的理论基础。