具摩擦非线性系统随机振动分析与最优控制

The researches on nonlinear stochastic vibration and optimal control have scored fruitful achievements on the smooth system, while only the vibro-impact system and hysteretic system have been involved in the aspect of the non-smooth system. The studies on the frictional system keep rare and almost adopt numerical methods. This project focuses on the random vibration analysis and optimal control strategy for nonlinear system with friction. The smoothing techniques are first developed for the static friction models and dynamic friction models, respectively. Based on the approximate smooth system of the original non-smooth system, the statistics of the random responses are derived through the traditional random analysis techniques. The applicability and precision of this procedure for all kinds of specific friction models are investigated. Combining the smoothing techniques, stochastic averaging, stochastic dynamical programming principle or stochastic maximum principle, the optimal control strategy is established by solving the Hamilton-Jacobi-Bellman equation or the forward-backward stochastic differential equations. Furthermore, the control effectiveness, control efficiency and the robustness of the optimal control to various uncertain parameters are discussed. The results on random vibration can be used to evaluate the influence of the friction on structural responses and the performance of frictional dampers, while those on the stochastic optimal control have an important meaning on the control design of servo systems which have high requirements on positioning accuracy and low speed performance.

非线性随机振动与最优控制的研究集中于光滑系统，并已取得丰硕成果。在非光滑系统方面，仅涉及碰撞-振动和滞迟系统，对摩擦系统的研究极少，且基本采用数值分析手段。本项目研究具摩擦非线性系统的随机振动分析与最优控制策略。在振动分析方面，针对两大类摩擦模型：静态摩擦和动态摩擦，分别建立摩擦非光滑因素的光滑化技术，而后采用传统随机分析方法从近似光滑系统导出响应统计量。并研究该技术对具体摩擦模型的适用性和精度。在最优控制方面，结合光滑化技术、随机平均技术、随机动态规划原理或随机极大值原理，通过求解随机动态规划方程或前向-后向随机微分方程组导出最优控制策略。研究其效果、效率及对各类不确定参数的鲁棒性。对随机振动的研究，可用于评估摩擦对工程结构响应的影响以及摩擦阻尼器的性能；随机最优控制的研究工作，对需要极高定位精度和低速性能的伺服系统的控制设计具有重要意义。

非线性随机振动与最优控制的研究集中于光滑系统，并已取得了丰硕的成果。在非光滑系统方面，仅涉及碰撞-振动和滞迟系统，对摩擦系统研究极少，且基本采用数值分析手段。本项目研究了具摩擦非线性系统的随机振动及最优控制策略。在振动分析方面，针对两大类摩擦模型：静态摩擦和动态摩擦，分别建立了摩擦非光滑因素的光滑化技术，而后采用传统随机分析方法从近似光滑系统导出响应统计量，并研究了该技术对具体摩擦模型（Coulomb、LuGre和Dahl）的适用性和精度。在随机最优控制方面，从物理观点出发将反馈控制强制拆分为保守成分和耗散成分，结合光滑化技术和随机平均技术，将相应于最优控制的泛函极值问题转化为多变量函数极值问题，进而由函数优化算法导出反馈控制策略，进一步讨论了反馈控制策略的控制效果、控制效率及对不确定参数的鲁棒性。本项目亦研究了滞迟、碰撞和约束等其它几类非光滑问题：发展了滞迟系统的瞬态随机最优控制策略和碰振系统稳态随机最优控制策略；在Kresling折纸启发下，通过恰当的单边约束设计构建了单路径展开/多路径折叠的机械超材料。上述各非光滑因素的研究方法相互借鉴并相互印证，为发展统一的非光滑随机系统研究方法打下了理论基础。本项目在随机振动方面的研究，可直接用于评估摩擦对工程结构响应的影响以及摩擦阻尼器的性能；在随机最优控制方面的研究，可用于提高复杂机械系统的定位精度。