具回路的网络中Saint-Venant方程的能控性

The project will study the problems of controllability for two nonlinear hyperbolic systems of conservation laws: 1-D Saint-Venant system for horizontal frictionless in a network of open canals with loops, and 1-D Saint-Venant system for sloped canals with friction in a network of open canals with loops. As a standard tool for solving engineering problems regarding the dynamics of canals and rivers, the controllability of Saint-Venant equations always attract researchers' attention. The controllability for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws is a forward direction in modern mathematics for its widespread applications. While for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws in a network of open canals with loops, there is no much result about its controllability. Therefore, an intensive study on these problems not only needs creativities on both theories and applications, but also brings important impacts on the research on nonlinear hyperbolic systems of conservation laws.

本项目拟研究具回路的无摩擦水平开河道网络和有摩擦倾斜开河道网络上一维Saint-Venant方程模型这类在物理、力学、工程科学等学科中出现的重要的非线性双曲守恒律系统模型的能控性。Saint-Venant方程组作为水利工程中处理水流动力学模型的标准工具，其能控性的研究一直是一个十分活跃的方向。网络上非线性双曲守恒律系统的控制问题，由于其应用的广泛性，是近代应用数学一个热点的前沿研究方向，而具回路的网络上的非线性双曲守恒律系统，由于复杂性和多样性，能控性的研究还基本处于空白阶段。对具回路的网络上Saint-Venant 方程组能控性的研究，不仅能引出新的理论和方法，而且可以推动非线性双曲守恒律系统控制理论的发展。

Saint-Venant 方程组描述开河道中不稳定流的流体运动，在一维的情形，是一个一阶拟线性双曲型方程组，是水利工程中处理水流动力学模型的标准工具，其能控性的研究一直是一个十分活跃的方向。在单个河渠，具链状结构的河渠网络，具星形结构的河渠网络以及具树状结构的河渠上，一阶拟线性双曲型方程组的能控性已经有了不少的结果。但是对于具回路的河渠网络，李大潜等已经证明了一阶拟线性双曲型方程组在其上不具有精确边界能控性。. 本项目主要研究亚临界平衡态附近，Saint-Venant方程组在具回路的河渠网络上的节点状态的精确边界能控性。. 在具一个三边形回路的网络上，在半整体C^1解存在的基础上，采用构造的方法，构造了一个满足给定节点状态的半整体C^1解，从而得到了所要求的节点状态的精确边界能控性，并将结果推广到较一般的具回路的网络上。. 以具一个三边形回路的网络为例，提出了一个“截断”的方法：首先，在树状网络节点状态的精确边界能控性的基础上，在截断点处给出适当的边界控制，将原具回路的网络上具节点状态的精确边界能控性的树状子网络“截断”；接着，利用这些边界控制作为边界条件，在剩余的河渠上构造半整体C^1解；最后，将这两部分解拼接起来，即得到整个网络上满足给定节点状态的半整体C^1解，从而得到了所要求的节点状态的精确边界能控性。并将结果推广到一般的具回路的网络上。. 这些结果完善了能控性的理论，为具回路的网络上能控性问题的研究提供了新的方法。