某些发展方程的部分零能控性

This project aims to study the partial null controllability for some evolution systems. The considered systems mainly include the wave equation over a complete Riemannian manifold and the coupled wave equations over a bounded domain in an Euclid space. The aforementioned partial null controllability aims to find controls driving solutions of some evolution systems to a closed subspace (of state space) at a given time. For the partial null controllability of the wave systems, we mean that there is a control so that the corresponding solution has the properties: the displacement and the velocity reach zero at the end of the time interval and in two subsets of the physical domain, respectively. We expect that the following new Geometric Control Condition ensures the partial null controllability for the wave equation: All rays issued from the intersection of the aforementioned two subsets enter the control domain before a given time, while at least half of rays issued from the rest region (of these two subsets) go inside the control domain before the same given time. (This new condition is different from the classical one.) Besides, as an extension problem of the partial null controllability, we will consider the partial stabilization for the wave equation with some damping terms (the displacement and the velocity of the corresponding solution decrease to zero over two subsets of the physical domain), and we expect that the aforementioned Geometric Control Condition helps the study of the above partial stabilization problem.

本项目拟就某些发展方程的部分零能控性展开研究。此处要考虑的发展方程的类型主要为黎曼流形上的波动方程和欧式空间上耦合波动方程组。这里的部分零能控性是指寻找控制使得发展方程的解在终端时刻的部分状态为零。对于具体的波动方程而言，我们要考虑的零能控性是指寻找控制使得波动方程的解的位移和速度在终端时刻处分别在物理空间的两个子区域内为零。对于波动方程的部分零能控性，我们预期会得到这样一个新的几何光学条件使其成立：从两个子区域的相交部分出发的所有光线在给定时间内进入控制区域，而对于其不相交的部分，只需一半光线在给定的相同时间内进入控制区域即可。（这个几何光学条件与经典的几何光学条件不同。） 此外，作为部分零能控性研究的延伸，我们还会考虑带衰减项的波动方程的部分稳定性（相应解的位移和速度分别在两个区域内的稳定性），并预期以上提到的新的几何光学条件会进入到部分稳定性研究中。

本项目原计划开展关于某些发展方程的部分零能控性方面的研究，其中系统状态需要被控制到子空间中。该问题是分布参数系统能控性理论中的重要问题之一。在本项目开展过程中，我们还发现了一些关联的有意义的研究问题，主要如下：（1）薛定谔方程在有限时刻点处的能观性；（2）全空间上热方程的能观区域的刻画；（3）带记忆热方程的热波混合行为。目前所得到的重要结果如下：第一，有界光滑区域上波动方程的部分零能控性成立的几何光学条件（其中要求位移和速度分别在两个子区域中为零）；第二，建立了全空间上薛定谔方程在两个时刻点处的能观性不等式；第三，发现了全空间上热方程的能观区域的充分必要的几何条件；第四，得到了低阶项中带记忆的热方程的解的分解，以对应其中的类热效应和类波效应。前三个结果为完善分布参数系统的能控能观性理论做出贡献，第四个结果为理解带记忆偏微分方程提供一个新视角。