关于指数和及特征和的高次均值问题

The high power mean value problems of exponential sums and character sums are very important and difficult research problems in analytic number theory, these content are closely related to many famous number theoretic poblems, and thus its research work has important theoretical significance and research value! However, due to the difficulty of the study of some number theory problems is very large, the research progress achieved so far is still not ideal, amounted to less than satisfactory purpose, so the depth of these issues and their promotion system research is still a meaningful work. This project mainly use the analytic methods and the properties of character sums and Guass sums to study the high power mean value calculating problems of trigonometric sums and character sums, and get some exact computional formulae or sharper asymptotic estimates for them. The main contents include the six-th, eigh-th，even 2k-th(k>4) power mean of the two-term exponential sums and character sums. We contact the characters and exponential sums by the properties of Guass sums, and establish a conversion between these different sums, and through the orthogonality of characters and the properties of Guass sums, to achieve the purpose of calculating the high power mean value of the trigonometric sums and character sums.

关于指数和及特征和的高次均值是解析数论中十分重要而又困难的研究课题,这一内容与数论中许多著名难题密切相关，因而其研究工作具有重要的理论意义及研究价值！然而由于许多数论问题研究的难度非常之大,因此至今所取得的研究进展仍不理想,达不到令人满意的目的，所以对这些问题及其推广形式继续进行深入系统的研究仍是一项很有意义的工作。本项目主要利用解析数论方法以及特征和与Gauss和的性质研究一些三角和及特征和的高次均值计算问题，得到这些高次均值的一些精确的计算公式或渐近估计。主要研究内容包括二项指数和及特征和的六次均值，八次均值甚至2k（k>4）次均值等。我们将通过Gauss和的性质将特征及指数和联系起来，建立起这些不同和式之间的相互转换关系，然后再通过特征的正交性以及Gauss和的计算达到研究三角和及特征和高次均值的目的！

关于三角和、指数和及特征和的高次均值问题在解析数论研究中占有十分重要的位置,许多著名的数论难题都与之密切相关，因而其研究工作具有重要的理论意义及研究价值。本项目利用新的解析方法研究一些三角和、指数和以及特征和的高次均值的计算问题，得到一些新的恒等式或者较强的渐近估计。为了研究关于指数和及特征和的高次均值，我们首先通过特征和与Gauss和的性质研究了一些三角和及特征和的高次均值问题，给出了关于指数和、特征和、二次Gauss 和、Kloosterman 和、Dedekind 和、的一系列渐近公式与恒等式，得到了一系列有意义的研究成果。具体来说：研究了广义Kloosterman和的混合均值及二次Gauss和及其2k次幂的均值，并给出了较强的渐近公式；讨论了二维Dedekind和与经典Kloosterman和的算术性质，得到了一些较好的渐近公式及恒等式；研究了Dedekind 和与Kloosterman和的混合均值；研究了Lemher问题与Kloosterman和的均值问题，得到了较强的混合均值渐近公式，并得到与特征和、二次域类数相关的恒等式。这部分研究工作进展顺利，圆满完成了预定的计划。此外，我们还研究了D. H. Lehmer 问题的一些推广， Bernoulli 多项式、Euler 多项式、Fibonacci 多项式的各类算术性质，并取得了一些新的成果。