两类迁移扩散方程组的若干问题研究

Recent numerical results indicate that for some data the Poisson-Nernst-Planck system (PNP) is stable while for some other data it is unstable. By checking Bourgain-Pavlovic's ill-posedness results [cf. J.Funct.Anal., 255(2008),2233-2247], we observe that the datum constructed by Bourgain etc. are periodic functions with infinite energy in the whole space domain. To get some norm finite data, one way is to cut off the periodic datum. In this project, we plan to study the instability of PNP system by constructing some norm finite initial data. Precisely, at first, we establish several key endpoint bilinear estimates; then by combining the bilinear estimates with the constructed data, we prove instability of the PNP system. Additionally, we check whether the data appears in numerical simulations satisfies the same property of the constructed data. It is clear that Keller-Segel (KS) system can be thought as a special case of the PNP system. Hence KS system should have better property than the PNP system. As a consequence, we aim at establishing well-posedness for the KS system in BMO-2 space and instability for the KS system in function spaces which are larger than BMO-2. Finally, by checking the difference of their instability results, we have better understanding of their different structures.

最近数值研究表明Poisson-Nernst-Planck(PNP)模型对一些初值稳定而对另一些初值不稳定。此外,Bourgain-Pavlovic在[J.Funct.Anal.,255(2008),2233-2247]中构造了一类能量无限的周期初值用以证明Navier-Stokes方程组的不适定性。本项目拟使用周期初值函数的光滑截断证明PNP模型在全空间中的不适定性或不稳定性。内容包括：建立PNP模型的端点双线性估计；构造适当范数有界的非周期初值并结合双线性估计证明PNP模型的不稳定性;分析使PNP模型不稳定的初值和本项目拟构造的初值之间的差异性质;直观上Keller-Segel(KS)模型是PNP模型的特例,应具有更好的性质。因此项目将研究KS在BMO-2空间中的适定性和更大的函数空间中的不稳定性;比较PNP和KS的不稳定性理论,加深人们对PNP和KS的非线性结构的内在差异的认识。

电荷和物种的迁移扩散是物理学和生物学中最普遍的现象之一，关于这些现象的数值和理论研究是该领域中的重要课题。特别的，Poisson-Nernst-Planck模型、Keller-Segel模型（抛物-双曲型、抛物-抛物型）和分数阶扩散方程就是为描述这些现象而引入的比较成功的数学模型。关于它们的数学研究成果有助于人们认识上述现象，帮助人们科学地利用电荷的迁移和扩散机制调节有机体的内部环境以及指引半导体器件中电荷准粒子作定向流动。综上可见，相关的理论研究具有重要的理论和现实意义。.我们通过分析Poisson-Nernst-Planck模型的非线性项的结构、对比现有研究成果，观察并发现了有效电荷密度和粒子密度对应的非线性项存在本质的差异；继而我们利用这些差异在符合尺度不变的一类临界函数空间中采用调和分析中的端点时空估计方法证明了该模型的存在性、唯一性和不稳定性。关于抛物双曲型Keller-Segel模型，我们利用现行偏微分算子的傅里叶分析理论和高低频分解技术改进了低频部分，使得整个系统在能量空间中较好地得到研究；关于抛物抛物型Keller-Segel模型，我们利用Tao，Bourgain等研究色散方程和Navier-Stokes方程时引入的不适定性的研究方法，构造了一类特殊初值，并证明了从这类特殊初值演化所得的解不满足稳定性，即初值的小的扰动经过短时间的演化不再是小扰动。关于具有非局部作用项的分数阶扩散方程，我们首先利用傅里叶分析理论中的拟微分运算从理论上证明了非局部作用项可以被分解出三部分：一个向量函数的拉普拉斯、一个数量函数的梯度、一个张量函数的散度。然后我们利用这一分解再结合热半群在时空估计中具有的光滑性在临界Besov空间中建立了最佳的端点时空估计。最后我们利用这些性质我们研究了整个方程在不同分数阶指标情况下的适定性。