不可压粘弹性流体旋转应变模型的随机初值问题

In this program, we aim at studying local existence results of the exact rotaion-strain model describing the motion of Hookean incompressible viscoelastic materials. More precisely, by applying Fourier transformation, Bernstein lemma, the pararpoduct decomposition method, multiplier theory, etc., we obtain the desired estimates of the corresponding Green function. Next, using the special weak dissipation of the rotaion-strain model, the Green function estimates, dyadic decomposition method, Sobolev embedding theorems and semigroup theory, we establish the a-priori estimate of the corresponding linearized system. Finally, combining several underlying essential physical backgrounds and compact arguments, we finish the proof of local existence of strong slutions to the 2D rotation-strain model respectively in the subcritical Sobole space under randomization of initial data and assumptions only on the size of the initial strain tensor and the initial velocity vector.

本项目旨在研究不可压缩粘弹性流体力学旋转应变模型的随机初值问题。为证明小应变强解在非齐次次临界Sobolev空间中的局部存在性，拟采用Fourier变换、Bernstein引理、Bony仿积分解、乘子理论和函数空间理论建立Green函数估计；再利用旋转应变模型的弱耗散性、Green函数估计、Littlewood-Paley二进制分解技术、Sobolev嵌入定理和强连续算子半群理论建立该模型的线性化问题的先验估计；最后结合模型的内在的物理条件，运用紧性方法证明模型随机初值问题的小应变强解的存在性。

本项目旨在利用傅里叶分析方法研究不可压缩的粘弹性流体的旋转应变模型的定性理论：包含确定性初值问题和随机化初值问题两个部分。依照研究年度计划安排，项目主持人在项目执行期间首先归纳、抽象、总结出不可压缩旋转应变模型中的弱耗散耦合结构，并且观察到此弱耗散结构广泛存在于一些物理、生物和化学模型中。项目申请人利用傅里叶分析方法和函数空间理论详细研究了这一弱耗散结构的特殊性质，完成了项目年度研究计划的前两部分并在《DCDS-A》，《Nonlinearity》，《Nonlinear Analysis》期刊上发表了三篇SCI论文。此外，与该项目相关的另外一篇论文目前正按照《Journal of Differential Equations》的积极的审稿意见作修改。最后，项目主持人在2013年底完成了该项目的第三部分，随机初值部分的相关研究，目前该成果正在做最后的修改，将于近期投稿。